陈 春， 高 雪， 滕汉东

(1. 国家石油天然气管网集团有限公司华东分公司，扬州 225002; 2. 南京航空航天大学 航空学院，南京 210016)

在航空、航天及石油化工生产应用领域，能量采集技术是一种非常有前途的清洁能源技术，它是指使用环境能量向小型和移动的电气或电子设备提供电[1-2]。通常情况下，这些设备都是依靠传统能源来提供能量，如镍氢电池、锂聚合物电池。但是，传统电池存在的缺点在于：一是相对于微型传感器其体积仍然较大，限制了微传感器的进一步小型化；二是供能寿命有限，使用一段时间后要更换或者充电。对于放置在恶劣环境或者埋于结构内部的无线传感器而言，这是个很严重的制约条件。而振动能是环境中最普通的一种能源，以不同的形式、强度和频率广泛存在于航空、航天、船舶、石油化工、车辆等工程领域，而且其能量等级仅次于光能。因此，振动能量采集器已成为可自我维持电源研究中的一大热点，在航空航天等领域中具有较为广泛的应用价值与前景[3-4]。但由于振动能量采集器件的采集效率取决于振动幅值及共振频率两个要素，目前振动能量采集装置在100 Hz以上频率具有较好表现。然而，环境中的振动能以低频为主，如人体运动(1～10 Hz)，车辆和机械设备(10～100 Hz)[5-6]。当前，在低频振动环境，振动能量采集装置主要存在的问题是：①输出功率和功率密度不高，这主要是因为输出功率与振幅立方成正比，而低频共振时的振幅较大也进一步加剧了功率密度的降低；②为了实现低频共振频率，弹性结构的破坏极限相对也更低，因此需要额外空间设置限位。

非线性振动能量采集器相比于线性振动能量采集器能够在宽频谱范围上表现出更好的振动能量采集性能，且移频、双稳态等非线性动力学特性极有利于振动能量采集。碰撞是实现非线性的主要形式之一，利用碰撞实现能量采集的方案主要有两种思路：①通过与弹性约束的碰撞，构成分段双线性能量采集系统，利用分段非线性实现共振频率偏移，拓宽采集频带[7]。例如，Soliman通过对振动悬臂梁施加弹性约束，实现了系统的分段非线性化，构成了分段双线性系统[8-9]，其研究结果表明，该设计成功拓宽了系统振动能量采集的带宽，而刚度比及接触速度是影响输出功率水平的重要参数，相似的研究结论可见文献[10]。②通过与高频结构的碰撞，引起高频结构的自由振动，从而实现由低频到高频的升频转换，而由于采集效率和振动频率的立方成正比，因此可以提高振动能量输出水平[11-12]。如，Halim针对低频运动的能量采集[13]，设计了一种无约束自由运动钢珠与一对弹簧-质量高频采集振子组成的采集器，钢珠在圆管内自由运动，通过撞击激发两个采集振子的高频自由振动，从而实现高效人体低频运动的能量采集。文献[14]给出了一种两自由度悬臂梁构成的碰振升频系统，其中通过主悬臂梁与止动块的碰撞诱发次级悬臂梁的高频振动，以实现升频转换。

本文所研究的电磁式碰振升频能量采集系统由低频驱动系统与高频采集系统两部分组成，两系统的感应线圈置于同一磁场，当振动发生时，基础激励驱使低频系统产生大幅运动，并与高频系统碰撞，从而引起高频系统的高频运动。其运动状态主要取决环境激励条件和系统参数，主要存在以下两种运动情形：①若振动水平较低(或者间隙较大)，低频驱动振子与高频采集振子的碰撞，此后，由于高频与低频驱动振子固有频率相差较大(可至数十倍)，即具备两个不同量级的时间尺度，在低频驱动振子的一个振动周期内，高频采集振子则会以其固有频率自由振动。②若振动水平足够(或者间隙较小)，低频驱动振子的振动通过碰撞周期性的能量输入，驱动高频采集振子处于高频周期振动状态。在不同运动状态下，碰振升频振动能量采集器升频动力学原理及采集性能也完全不同。

本文主要探讨情形1状态下碰振升频振动能量采集器的动力学及其电学输出性能。在该情形下，对低频驱动振子而言，与高频采集振子的周期性的碰撞可近似为振动能量损失的硬碰撞过程，因此其共振频率会往高频方向偏移，拓宽能量采集的频率带；在碰撞发生以后，高频采集振子也会以较高的初始能量状态开始高频振荡。

1 动力学建模

1.1 物理模型

图1是电磁式碰振升频振动能量采集器的结构原理图。该装置由低频驱动振子和高频采集振子两子系统组成，二者均为单自由度的动铁型电磁式振动能量采集，低频驱动振子的“低频”主要是指其固有频率较小，在设计上约为高频采集振子固有频率的十分之一。低频驱动振子和高频采集振子共同内嵌于圆柱壳内部，而为了弱化低频驱动振子和高频采集振子永磁体之间的磁力相互作用，磁铁的端部粘结有PVC有机材质制成的圆柱头以增加磁铁间的有效距离，降低磁力耦合。也因此在本文后续推导中，假定磁铁间的耦合较弱而忽略不计。铜线圈缠绕于支撑圆柱壳体的外表面，采集电路部分直接由铜线圈连接单一负载电阻，本文着重考虑采集装置的动力学特性对电能输出的影响，所以电路部分采用这种最简单电阻形式。这对本文所进行的相关结论推导以及定性设计结论无实质影响。

图1 碰振升频振动能量采集的原理和结构

对于安装在板、梁等结构的采集装置而言，在结构基础激励振动下，低频子系统的固有频率等于外激励频率，所以低频驱动振子将处于共振状态，低频驱动振子响应振幅达到最大。进而通过碰撞耦合，低频驱动振子驱使高频采集振子处于初始能量较大新的初始条件状态，然后高频采集振子将以自身固有频率高频自由振荡。而根据线性振动能量采集原理的结论，输出电能与响应频率成立方正比例关系，因此采集系统的高频振动有利于最终的能量输出。而从物理角度来看，高频采集振子的刚度远高于低频驱动振子约10倍以上，近乎于刚性约束。因此，高频采集振子的作用体现在以下几点：①可以限制低频驱动振子的极端情况下的共振位移；②与刚性约束相，高频采集振子的高频自由振荡可弥补刚性约束下，低频驱动振子因响应受限所造成的捕获振动能量的损失；③高频采集振子的采集频率高、响应幅值低，有利于功率输出密度的提升。

1.2 动力学方程

对于图1所示的碰振升频振动能量采集系统，根据牛顿第二定律和基尔霍夫定律，得到低频和高频采集系统的机电耦合方程分别为

(1)

进而

(2)

对于采集系统，碰振发生条件为

x1-x2=d

(3)

同时在碰撞发生前后，碰撞质量还满足非完全弹性碰撞的恢复条件和质量守恒定理：

(4)

影响碰振升频振动能量采集装置能量输出的参数很多，如碰撞间隙、激励加速度幅值等，有些系统参数数值上的改变对系统的影响实质上是相同的，如碰撞间隙和激励幅值。因此为了更为全面研究系统的动力学行为，避免参数研究的重复性，这里对动力学方程式(2)首先进行无量纲化处理：

按照以上对方程式(2)进行无量纲化处理以后得到无量纲动力学方程为：

(5)

当碰撞发生时：

X1-X2=D

(6)

当振动发生时，除碰撞时刻以外，低频驱动振子和高频采集振子均以各自初始状态开始受迫振动，方程式(5)的时间历程为

(7)

式中：A1，B1，A2和B2由初始条件决定的积分常数;g1，g2，g3和g4决定稳态运动部分。

当碰撞发生以后，则以由式(4)所决定的新的初始条件按照式(7)的形式振动。

2 电学数值仿真与分析

2.1 系统参数

在方程式(1)中，高频采集振子和低频驱动振子的机械阻尼系数主要来自于弹性材料的内阻尼及振子质量在相对运动过程中与圆柱筒内壁的摩擦。机电耦合系数θi=NiBili，Ni为线圈圈数，圈数越多，电磁耦合系数越大，但线圈内阻也越大。Bi为磁场强度，li为线圈有效长度。输出总电压为

(8)

输出电压直接取决于电磁耦合系数和振动速度，当电磁耦合系数一定时，振动速度越大，输出电压也就越大。负载的有效电压则为

(9)

因此，负载的输出功率则为

(10)

本文所考虑的电路未将两部分进行串/并联处理，而是相互独立连接不同负载电阻。振动能量采集装置的最佳采集一般均处于共振状态，因此设计碰振升频振动能量采集装置的低频驱动振子的固有频率与环境频率一致。

对上述能量采集系统进行动力学仿真，参数如表1所示。

表1 系统参数

2.2 碰撞间隙对输出电压和输出功率的影响

2.2.1 低频驱动振子的采集性能

图2给出了不同碰撞间隙下低频驱动振子的位移频率响应特性曲线。由于在建模过程中，采用了无量纲化处理，因此这里得到的输出电压和输出功率均为无量纲值。明显地，与未发生碰撞的线性情形相比，碰撞间隙越小，低频驱动振子的响应幅值也就越受到限制，这比较符合物理上的认识，与文献[9-10]的研究结论也是一致的，但输出电压和输出功率是否也受到限制仍待考察。

图2 低频驱动振子位移频率响应特性曲线

图3给出了不同碰撞间隙下，低频驱动振子的输出电压和输出功率的频率特性曲线。可得到以下结论：不同间隙下，输出电压和输出功率的峰值基本保持不变；但对应频率往高频方向偏移，间隙越小，偏移程度越大；半功率采集带宽基本一致，并无明显优劣。从非线性动力学角度来看，由于碰撞耦合的缘故，低频驱动振子呈渐硬非线性刚度特性，且碰撞间隙越小，即非线性体现的也就越强，这是进一步造成电能输出往高频方向偏移的动力学机理解释。

图3 低频驱动振子的电能输出的频率特性曲线

2.2.2 与线性采集振子的比较

作为比对，图4给出了与低频驱动振子具有同一固有频率的线性采集器的位移与电压输出特性对数曲线。由图4(a)可以看出，低频驱动振子共振区的响应峰值被“削平”，这是因为高频采集振子的刚度大于低频驱动振子的十倍左右，起到了刚性约束的效果。而与此同时，由于电能输出正比于响应幅值，所以低频驱动振子在共振区的电压输出峰值也被有所降低。

图4 本文提议采集装置于纯线性采集装置的比对

2.2.3高频采集振子的采集性能

根据以上分析，高频采集振子的限位作用比较明显，但其振动能量采集能效仍需进一步验证。图5～图7分别考察不同碰撞间隙时，低频驱动振子和高频采集振子各自的功率输出及对总功率输出的贡献。主要结论是：仍以低频驱动振子的采集电能输出占主要部分；当碰撞间隙比较小时或低频驱动振子响应幅值较大(处于共振状态Ω=1.2,1.3)时，高频采集振子的能量输出贡献占总输出的比重较大；随着碰撞间隙的增大，高频采集振子对总的能量水平的比重也就越来越小；未发生碰撞时，高频采集振子的贡献极少。产生这种现象的关键原因在于：在共振区范围内，低频驱动振子的位移幅值响应和速度幅值均处于较高幅值状态。所以，在碰撞发生时低频驱动振子撞击高频采集振子使其具备更大的初始动量。也因此，在其后续自由衰减振动过程中，高频采集振子也就具备比其他频带内更高的位移响应水平，所以其电能输出在共振附近更为突出。而当碰撞未发生时，低频驱动振子尽管处于共振状态，但此时高频采集振子并未获得额外的能量输入，因此其电能输出贡献比也就较小。

图5 D=1时，输出功率RMS的频率特性曲线

图6 D=2时，输出功率RMS的频率特性曲线

图7 D=4时，输出功率RMS的频率特性曲线

综合以上，得到以下对于电磁式碰振升频振动能量采集系统设计具有指导意义的结论：

(1)高频采集振子对低频驱动振子起到限位作用，由于高频采集振子刚度较大，与低频驱动振子的振动幅值相比几乎为零，低频驱动振子的最大幅值基本限制约为碰撞间隙的取值；

(2)随碰撞间隙的减小，输出电压的均方根峰值往高频方向移动，但峰值基本保持不变。这意味着碰撞间隙只起到移频作用，并不明显影响最大的输出电压。因此低频驱动振子的固有频率选取并不能直接等于外激励频率，为了获取最优的能量输出，需根据输出电压峰值所对应的频率比进行选取。

(3)在碰撞发生频带，高频采集振子对总功率输出的贡献比例也明显提升，如在碰撞间隙D=1时，Ω=1.1～1.3频率区间，贡献比约在30%。因此，与绝对刚性约束相比，高频采集振子一定程度上补偿了总的功率输出。

2.3 碰撞速度和碰撞次数的影响分析

以下我们通过考察系统的时间历程来分析碰撞耦合是怎样影响系统的能量输出水平的。给定系统参数D=2，Ω=1，图8分别给出了瞬时电压和瞬时功率的时间历程。如图8(a)所示，低频驱动振子输出电压周期等于外激励的周期为2π。而在一个激励周期内，低频驱动振子与高频采集振子发生了两次碰撞，第一次碰撞通过动量交换使得高频采集振子获得一个较大的初始速度，然后自由衰减。但紧随其后的第二次碰撞又使得高频采集振子以一个低水平的速度开始高频自由衰减。因其速度幅值过低，因此并未得到高水平的电能输出。根据瞬时功率图8(c)可以看出，在两次碰撞之间的短时程内存在功率脉冲，但在除此之外的时段内，高频采集振子的功率输出极低。

图8 输出电压的时间历程(D=2,Ω=1)

而在给定系统参数D=6，Ω=1情形，在一个激励周期内，仅发生一次碰撞。碰撞使得高频采集振子得获一个幅值较大的初始速度，并按自身高频固有频率衰减，电压输出和功率输出相对也较高，如图9。

图9 输出电压的时间历程(D=6,Ω=1)

至此可以得到一个结论：高频采集振子的电能输出水平决定于碰撞发生后的速度；在获得高水平速度时，一个激励周期内的单次碰撞有利于保证高频采集振子得获高水平的电能输出，这是动力学设计时需要考量的一点。

3 结 论

针对电磁式碰振升频振动能量采集装置，本文建立了其碰撞动力学模型，为了避免参数研究的重复性，对模型进行了无量纲化处理，进而数值仿真研究了系统的动力学特性和电学输出性能，得到以下有益于设计的结论：

(1)由于高频采集振子刚度较大，与低频驱动振子的振动幅值相比几乎为零，低频驱动振子的最大幅值基本限制约为碰撞间隙的取值，所以高频采集振子对低频驱动振子起到限位作用。

(2)碰撞间隙只起到移频作用，因此低频驱动振子的固有频率选取并不能直接等于外激励频率，为了获取最优的能量输出，需根据输出电压峰值所对应的频率比进行选取；在碰撞发生频带，高频采集振子对总功率输出的贡献比例明显提升，在共振频带贡献比约在30%左右。

(3)高频采集振子的电能输出水平决定于碰撞发生后的速度；在获得高水平速度时，一个激励周期内的单次碰撞有利于保证高频采集振子得获高水平的电能输出。