孙征昊， 李鸿光， 李富才， 孟 光，3， 孙 晖

(1.上海卫星装备研究所，上海 200240； 2. 上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240；3. 上海航天技术研究院，上海 201109)

基于线性理论的超声检测技术在微小损伤和早期损伤检测的敏感度等方面存在许多不足，而近年发展起来的非线性超声检测方法能利用超声波在结构中传播时产生的非线性效应，进而通过输出信号在频率上的改变对微小和早期损伤做出评价。具体说来，介质内存在的不连续与有限振幅超声波之间的相互作用会造成声波波形的畸变，进而会使频域内出现不同于入射声波的频率成分。非线性超声检测方法可以深入到微观层面识别材料的性能退化，对损伤早期微观结构的改变具有很高的检测灵敏度，因而具有广泛而重要的应用前景。

基于不同的非线性效应衍生出若干种非线性超声检测方法，主要包括二次谐波生成法、接触声学非线性法、分频谐波生成法、谐振超声谱法、波束混叠法等。

波束混叠法是使两只换能器产生的激励信号在材料内部待测处交汇，通过观测第三列波、即谐振波的响应来判断指定位置的材料性质。由于具有空间、模式、频率和方向选择性等诸多优点，近年来波束混叠法进入研究者的视野，出现了针对该方法的一些理论和实验研究。 如下：Jones等[1]最早观察到在满足谐振条件的交互作用情形下能够产生谐振波，Zarembo和Krasilnikov[2]，Taylor和Rollins[3-4]，Childress和Hambrick[5]等也给出了关于谐振波产生条件的讨论。Korneev等[6]对非线性超声波束混叠现象进行了更深入的研究，推导出所有可能存在的交互作用情形下的一般非线性谐振波幅值的解析表达式。Sun等[7-8]对两列反向共线纵波和两列非共线波的混叠情况进行了数值研究。Sun等[9]研究了声学非线性系数与两列发生非线性相互作用的入射剪切波的夹角之间的关系。

Croxford等[10]提出了利用非共线波束混叠方法对材料退化进行探测，将这种方法应用在了铝制试件在疲劳损伤和塑形变形下的性质检测。Lin等[11-12]利用一列纵波与另一列剪切波共线混叠的方法监测了金属中的局部塑形变形和疲劳。Demenko等[13-14]以非共线波束混叠方法对PVC和热材料的物理老化状态进行估计，检测了环氧树脂的硬化。

关于两列同向纵波混叠的情形，近年来在解析解的推导方面涌现出一些理论成果，Kuvshinov等[15]对岩石中弹性波的非线性相互作用的若干种情形的解析解做以总结，Korneev等在归纳各种混叠情形的讨论中给出了散射系数的表达式，Wang等[16]分析了材料非线性影响下两列平面弹性纵波发生混叠后产生的非线性响应。然而，关于两列波在混叠过程中发生相互作用的机理尚不清楚，在微观结构与所生成的谐振波之间的影响机制上也缺乏认识，亟待通过某种数值分析的方法对这些问题开展研究，加深对波束混叠物理过程和谐振波传播特性的认识，从而更好地为这一非线性检测手段的实践应用提供理论基础和方法支撑。

1 材料非线性固体介质中波的传播模型

这里应用一对耦合的双曲型偏微分方程来对具有平方非线性的弹性半空间内的声波进行描述。在弹性板空间内建立笛卡尔坐标系，在边界上施加两列与时间相关的线性载荷(如图1所示)。二维运动控制方程可写成以下二阶双曲型偏微分方程组的形式：

图1 非线性固体中两列波混叠的物理模型

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：δ(x)是表示z=0处的线性载荷的delta函数，F(t)是输入信号函数，Q是F(t)的幅值，F(t)的表达式为

(6)

式中：ff表示激励频率，tf表示激励频率施加的截止时间。半空间内的质点位移和速度在初始时刻均设为零。选择激励频率时，要保证设定下的差频与和频谐振波与基频波及其二次谐波的频率值之间保持充分的间隔，以使得频域内的不同频率成分不会发生重叠而难以区别。本文选用的一组激励频率大小为2 MHz和7.6 MHz，此时差频与和频成分的频率大小分别为5.6 MHz和9.6 MHz。

与标准非线性本构关系相比，这里仅考虑小应变，忽略掉与几何非线性相关的项，将本构关系式写成

(7)

式中：λ和μ是二阶弹性常数，l和m是三阶弹性常数。

完整状态下的材料通常被认为是线性介质，而当材料包含诸如位错、塑性变形、晶界、沉淀等一些微小损伤时，材料本构关系中的非线性项会显著增大[17]。这里选用了D54S铝作为结构所用的材料[18]，其材料参数列于表1中。数值计算过程中选取了五组非线性系数，分别表征完整材料和发生不同程度的疲劳损伤时的材料，其中m1和l1表征完整材料，而mk和lk表征发生不同程度损伤的材料，其数值分别为m1和l1的k倍。

表1 算例中所选用的材料参数

2 数值求解方案

这里探讨的非线性问题可以通过二维平面上的双曲型守恒律可表示成如下形式：

(8)

(9)

两个通量矢量分别为

(10)

(11)

非线性本构关系下可能存在一些具有虚数特征值的雅可比矩阵的区域，因而这里通过限制激励信号的输入振幅Q来使系统保持在双曲区域内，进而矩阵特征值为实数。本文采用Kurganov等[19]提出的一种具有高分辨率的二阶中心差分方法进行数值求解，并通过对CENTPACK计算程序包[20]加以改进得以实现，利用ghost-cell方法来完成边界条件的设置。为确保计算结果的收敛性，所选取的数值时间步长需要满足CFL条件，从而保证了某一点的解析域的解完全包含在该点的差分方程的数值解内。通过设定吸收边界条件，避免造成边界上的反射。

3 数值计算分析

3.1 正反相响应叠加法

作为非线性超声检测技术的一种，波束混叠技术主要利用的是频率成分的有关信息，这里对时域内响应进行了快速傅里叶变换(FFT)从而得到其在频域中的响应。

本文采用正反相响应叠加法将基频波从其他成分中分离出来。以两个互为180°相反相位的信号作为输入激励，将其相应的两次响应进行叠加后，可以将偶数阶高次谐波提取出来。由于所生成的谐振波来自方程中的非线性项，通过线性叠加的方式不能除去，因而将正反相响应叠加后，仅仅减去了基频波成分和所有奇数阶高次谐波成分，其他的各种频率成分则被保留下来。计算结果表明，通过正反相响应叠加的方式，不仅可以将谐振波从多种复杂成分中有效提取出来，并且频谱中将主要只存留两种频率的谐振波与两种频率的二次谐波等四种成分，这对直观高效地分析波与能量的消长具有积极意义。

3.2 质点速度波前云图

根据各时间步的计算结果，可以绘制出以质点速度表征的各时刻的波前，在这里给出了四个不同时刻x-和y-两个方向的波前图，并分别列出通过单组激励法(左列)和正反相响应叠加法(右列)得到的两种结果。从图中可以看到，两列不同频率的波同时离开左侧边界，继续向右扩展至右侧边界，由于被吸收而消失在计算域的过程。从图2可见，x-方向上形成的主要是球面波，波前云图关于水平中心线呈现轴向反对称性。在波束混叠作用影响下，波前改变了宽度、间距和峰谷排列的式样，条纹密度大致增倍，从而可见基频波成分被削弱，并产生了包含二次谐波的高频成分。从图3可见，y-方向上形成的主要是平面波，波前云图关于水平中心线呈现轴向正对称性。同样地，条纹密度基本上增大至原先的两倍，可见响应中存在着二次谐波等高频成分。

图2 不同时刻非线性介质中分别对应于原始响应与合并后响应的vx波前的运动情况

图3 不同时刻非线性介质中分别对应于原始响应与合并后响应的vy波前的运动情况

3.3 时域响应分析

这里分别给出了x-和y-两个方向上的非线性响应，以分析谐振波和高次谐波的非线性响应。在2 MHz和7.6 MHz作为激励频率的条件下，和频率与差频率的数值分别为5.6 MHz和9.6 MHz，两种二次谐波的频率分别为4 MHz和15.2 MHz。选用五组不同水平的非线性系数提供对比，其中一组系数描述完整材料，另外四组系数分别描述不同疲劳损伤阶段的材料特征。

分别选取结构左、右端点和中点这三个具有代表性的观测点。图4(a)～(f)分别给出结构左端点处x-和y-方向上的总响应和5.6 MHz、9.6 MHz两种谐振波响应。

从图4(a)和(d)可以看到x-和y-方向上在总响应中2 MHz与7.6 MHz的输入激励成分发生了充分的相互作用，响应中的波形发生了明显的畸变，而响应幅值随非线性水平的增大并未发生明显改变。从图4(b)和(c)、4(e)和(f)可见，差频与和频谐振波响应呈现出平滑完整的包络线，并且其幅值随非线性水平的依次增大而递增，y-方向上谐振波响应出现的时间比x-方向更早。

图4 不同非线性水平情况下质点速度的时域响应

图4(g)～(l)给出了结构中点处两个方向上的总响应与两种谐振波响应。对非线性响应而言，x-方向上的差频与和频响应幅值随非线性系数依然保持单调递增，y-方向上的差频响应幅值符合单调递增的规律，而和频响应幅值在非线性系数较小时保持单调递增，但在非线性系数达到一定水平后出现递减的趋势(图4(l))。由此可见，通过对两个方向的观测，差频成分能够准确反映非线性水平的改变；而通过对x-方向的观测，和频成分也能够反映出非线性水平的变化。

图4(m)～(r)给出了结构右端处两个方向上的总响应与两种谐振波响应。从图中可见，x-方向上的差频响应幅值随非线性系数保持单调递增，而其他三种谐振波响应幅值随非线性系数的改变并无明显的单调变化趋势。由此可见，通过对x-方向的观测，材料中非线性水平的变化可以通过差频谐振成分准确反映出来。

3.4 频域响应分析

对于结构左、中、右三个典型位置观测点，如图5所示，分别给出基于单组双频激励法(前两行)和正反相响应叠加法(后两行)的x-和y-两个方向上的频域响应。首先关注左列：对于左端点，两个方向的频域内主要存在着2 MHz和7.6 MHz两种基频波成分(图5(a)和(c))，而相比之下5.6 MHz与9.6 MHz的两种谐振波频率成分的幅值则很微小。对于中点，两个方向上的两种谐振波频率成分的幅值皆有较为明显的增长，且该幅值随非线性系数的增大而变大，而4 MHz的二次谐波频率成分也呈现相同的特征。对于右端点，两个方向上的谐振波频率成分有所降低，且除了x-方向上的5.6 MHz差频成分外，其他几种谐振波幅值随非线性系数的变化未呈现明显规律。而在右列上，2 MHz和7.6 MHz的两种基频波成分几乎被完全削减。左端点的x-方向上突出存在着5.6 MHz与9.6 MHz两种谐振波频率成分，y-方向上除了这两种之外，同时存在4 MHz与15.2 MHz两种二次谐波频率成分，其中15.2 MHz成分的幅值更为显著。中点的两个方向上同样存在上述四种成分，其中5.6 MHz的差频谐振波成分占优，而9.6 MHz的和频谐振波成分在较大非线性系数情况下无显著变化规律。而在右端点，谐振波频率成分中只有x-方向上的5.6 MHz差频成分随非线性系数的变化单调递增。

图5 不同材料非线性水平情况下质点速度经过FFT变换后的结果

3.5 谐振波在扩展路径上的变化趋势分析

分别在时域和频域上观测了具有和频率和差频率两种谐振波成分的生成情况之后，便可以进一步得到沿扩展路径方向谐振波的变化趋势。由于对于共线波束混叠的情形，谐振波产生的位置和扩展的方向均位于主波扩展的主路径上，所以在该扩展路径的中心线上选取了共37个等距观测点，相邻两个观测点间的距离为0.6 mm。

图6(a)给出了5.6 MHz的差频谐振波频率成分在x-方向的幅值，从左端开始，沿着向右的方向，大体呈现出先增大后减小的变化趋势，而且随着非线性系数的增加依次增大。由此可知，在结构该路径上的任意位置进行测量，都可以通过谐振波的幅值检测出非线性系数的变化。而对于其他几种幅值变化曲线(图6(b)～6(d))，谐振波幅值只在前半段随非线性系数呈现单调递增的规律，而在后半段未有明显变化规律。图6(e)～6(h)给出了4 MHz和15.2 MHz两种二次谐波成分的变化趋势，从中可见4 MHz成分在两个方向上均保持了在整个路径上随非线性系数的单调递增性，其中y-方向上的幅值沿着从左到右的方向逐渐增大，而15.2 MHz的成分随非线性系数而变的规律不明显。

图6 不同材料非线性水平情况下差频谐振波和二次谐波在扩展路径上的变化规律

4 结 论

本文通过对两列同向共线的纵波波束混叠的数值研究，揭示了同向共线纵波波束混叠过程的物理机理和所生成的谐振波的传播特性。由于在此过程中的形成实际声场非常复杂，响应中包含了多种非线性成分，在难以进行理论分析的情况下，数值方法提供了很好的解决途径。

本文研究工作对后续相关实验研究的设计和实施具有指导和参照意义。在受限于单侧放置探头的情况下，可通过在待测表面安置一只换能器的方式，同时用于发射和接收信号，并无需设置激励时间差，即可实现两列纵波的充分混叠及差频与和频谐振波的生成。

数值计算结果表明，差频与和频谐振波成分可以同时在多个方向上产生和扩展，而其中剪切方向产生的差频谐振波成分能够随材料非线性系数而单调递增，从而可以对材料非线性进行准确测量，进而为材料早期疲劳损伤和微小损伤的评价提供有效而便捷的检测方法。