张友梅，吴邦昆

（合肥职业技术学院基础教育学院，合肥 238000）

若数列{xn}是由函数y=f(x)所确定的递推数列xn+1=f(xn)，n=0，1，2，…的形式给出，如果这类数列通项公式又不易求出，讨论它的收敛性，用传统的方法常常比较困难，甚至无从下手〔1-3〕。比如：

讨论这几个数列的收敛性用传统的方法就比较困难，研究发现如果函数y=f(x)是单调函数，这种由xn+1=f(xn)生成的递推数列{ }xn，它的收敛性在不求通项公式情况下就可以判别，且判别方法具有一定的规律性，容易理解，使用方便，不难掌握。

1 预备知识

定义1 方程f(x)=x的任一解称为函数y=f(x)的不动点〔4〕。

定义2 设函数y=f(x)在区间I上有定义，如果x0∈I，则xn+1=f(xn)∈I,n=0,1,2,…，则称函数y=f(x)在初值x0处可迭代，数列{}xn称为函数y=f(x)的迭代数列。如果对∀x∈I，函数y=f(x)在x处可迭代，则称函数y=f(x)在区间I上可迭代〔5〕。

以下给出几个基本事实〔6〕。

（1）以函数f(x)的不动点为初值产生的迭代数列{xn}是常数数列。

（2）在区间I上单调下降的函数f(x)至多有一个不动点，在(-∞,+∞)上连续下降的函数有且只有一个不动点。

（3）若数列{xn}为连续函数y=f(x)的迭代数列，则nli→m∞xn=A的必要条件是A为f(x)的不动点。

（4）若函数y=f(x)在区间I上单调上升，则迭代数列{xn}一定单调，其增减性由数列{xn}的前二项x0，x1即可确定。

（5）若函数y=f(x)在区间I上单调下降，函数f[f(x)]单调上升，这时数列{x2n}和{x2n+1}分别看成依初值x0，f(x0)通过f[f(x)]产生的迭代数列，则数列{x2n}和{x2n+1}一定都是单调数列。

2 研究结果

这里主要讨论由单调函数y=f(x)产生的迭代数列{}

xn收敛性的判别方法。

2.1 判界法

命题1 若函数y=f(x)在区间I上单调上升、有界且可迭代，则对任何初值x0∈I，f(x)的迭代数列均收敛。

证明：因为所设的条件是函数y=f(x)在区间I上单调上升、有界且可迭代，所以f(x)的迭代数列{xn}为单调有界数列，根据单调有界原理可知数列{xn}收敛。……