王芬

(河南科技职业大学,河南周口 466000)

1 李群理论

一般的非线性演化方程可表示为:

其中G是其变量的已知光滑函数,v=v（x,t）是待求函数。称函数(记σ（v）或σ)为方程(1)的一个对称(symmetry),如果

对任意的v都成立,其中G（v）是v及其导数的已知函数,且

19世纪,S.Lie在研究微分方程的基础上,提出了李群理论的思想。由于李群理论相对比较抽象,因此在20世纪70年代以前,这一理论并没有被广泛应用。直到Bluman写了易懂的著作,李群理论才被逐渐广泛地用于研究和求解非线性偏微分方程(非线性发展方程或演化方程)。李群方法是研究微分方程的有效方法之一,应用李群可得到方程的不变解或简化方程。偏微分方程(组)的对称约化的经典方法就是李群方法[1],李群理论有着非常丰富的内容,其中李代数的研究是数学理论中的重要内容。从集合的观点来看,v1和v2可以作为一个线性空间 Ω=span{v1,v2}的两个基来对待。如果规定σ（x,t,v,v x,vxx,L）换位子运算:,则该线性空间还构成代数(满足分配律及数乘交换律的线性空间),称为李代数。假设（x,t）∈R2是自变量。

应用经典李群方法,我们考虑无穷小单参数李群变换（x,t,u）,给定:

其中ε是群参数,这就要求方程组(2)在变换(3)下是不变的,同时生成一个关于无穷小元ξ（x,t,u）、τ（x,t,u）和φ（x,t,u）的超定线性方程组,无穷小对称的相关李代数有下面向量场形式:

这里 ∂/∂x≡∂x。这个方法完全依靠算法解决问题的,经常涉及复杂代数和辅助运算,这就需要利用Maple软件等符号计算。Maple软件是由加拿大Waterloo大学开发的数学和工程计算软件,不但具有精确的数值处理功能,而且具有无与伦比的符号计算功能,是一种交互式计算机代数系统[2],因而被广泛运用于数学的各个分支领域[3]。……