天琴一号卫星加速度模式无拖曳控制

2021-06-25苟兴宇王丽娇李明群蒋庆华王绍凯

宇航学报 2021年5期

苟兴宇,王丽娇,李明群,蒋庆华,王绍凯

(1. 北京控制工程研究所，北京 100190；2. 空间智能控制技术国家级重点实验室，北京 100094)

0 引言

Pugh[1]于1959年最早提出通过外卫星中的内卫星提供无阻力轨迹的建议。1964年Lange[2]正式给出无拖曳卫星的概念、模型与控制器设计。这种卫星由常规的刚性卫星本体及其内部电极笼腔体中与之不直接接触的检验质量组成。这种构型使得检验质量免受大气阻力、太阳光压力及轨控推力等非保守外部作用力的直接作用。通过合理的卫星构型设计及静电偏压作用，还可使检验质量在其标称位置处所受来自卫星本体的自引力及静电偏压力等的合力几乎为零。若对卫星施加适当的控制作用，使检验质量一直处于这种状态，则卫星将跟踪检验质量始终运行在貌似只受地球、太阳或其它天体引力作用的“自由落体”轨道上。这种近乎理想的运动状态在卫星导航、天体引力场探测、引力波空间探测及等效原理在轨检验等领域具有重大的科学试验与工程应用价值[3]。

若检验质量六个刚体自由度完全采用静电悬浮控制在电极笼内标称位置及方位处，则检验质量及其电极笼构成一台高精度静电悬浮加速度计。以该加速度计示数作为测量量，高精度连续可变推力推力器作为执行机构，可将加速度计示数控制在均值为零或任意指定值附近，从而实现所谓加速度模式无拖曳控制。

若检验质量六个刚体自由度中部分自由度采用静电悬浮控制在电极笼内标称位置和/或方位处，其它自由度通过高精度连续可变推力推力器作用于卫星的控制力或/和控制力矩得以维持在相应的标称位置或/和方位处，则其它这些自由度实现了所谓相对位移或/和转角模式无拖曳控制。

国际上对这两类无拖曳控制技术的研究、试验及在轨应用已有数十年的历史[3-5]。其中，GOCE卫星在轨飞行成功是加速度模式无拖曳控制最具代表性的成果[6]。GOCE卫星采用由6台高精度静电悬浮加速度计组成的重力梯度仪作为有效载荷，并在相应控制通道取加速度计的和模信号作为无拖曳控制的量测值，采用离子电推进系统作为执行机构。该卫星在轨飞行实现的残余加速度时域指标优于3.6×10-8m/s2，频域指标在0.005～0.1 Hz中频段优于4×10-9m·s-2·Hz-0.5。LISA Pathfinder在轨试验成功是国际上位移模式无拖曳控制最具代表性的成果[7]。

国内从2010年左右开始关注无拖曳控制技术的研究[8-14]。中国科学家罗俊院士及胡文瑞院士分别提出中国引力波探测“天琴”计划及“太极”计划。2019年8月31日太极一号卫星成功发射。同年12月20日，天琴一号(TQ-1)空间惯性基准建立试验卫星成功发射，并于2019年12月25日在轨首次成功完成加速度模式无拖曳控制试验，于29日首次取得呈现收敛趋势的位移模式无拖曳控制结果。

至今为止，国际国内众多学者采用了传统PID控制[15]、H2/H∞控制[10,12]、嵌入式模型控制[16]、模型预测控制[17]、定量反馈控制[18]、有限时间控制[19]、全系数自适应控制[20]及自抗扰控制[11]等诸多方法开展无拖曳控制器设计、系统分析与仿真。

本文以TQ-1卫星为背景，简单介绍卫星加速度模式无拖曳控制系统一般组成、各环节典型模型、常见控制器及TQ-1卫星特殊的采样控制周期，随后重点阐述了CIC滤波器组频响特性等效、加速度模式无拖曳控制系统稳定裕度及残余加速度指标分析与综合等技术内容，并给出TQ-1卫星在轨飞行试验结果。本文着眼于工程实际问题的挖掘与解决，仅采用了简单的单积分控制器，残余加速度指标综合则是随机控制理论成果在无拖曳领域的应用，但CIC滤波器组表达式的写法、CIC滤波器组频响曲线的两种等效方法、无整倍数关系多周期系统稳定裕度分析及残余加速度宜按控制刷新率数据获取PSD曲线等成果均未见于相关文献报道。

1 无拖曳控制系统组成

卫星加速度模式无拖曳控制系统组成框图如下图1所示。

图1 卫星加速度模式无拖曳控制系统组成示意图Fig.1 Illustration of acceleration mode drag-free control system of satellite

本文考虑无拖曳控制仅在卫星本体系指定单轴方向进行。卫星无拖曳控制系统通常由高精度静电悬浮加速度计、无拖曳控制器、连续可变推力推进子系统及质量为m的控制对象组成。其中，加速度计由测量头部与高阻滤波器组成，测量头部由测量传递函数及其输出与测量噪声之和来描述。测量传递函数以控制对象的实际输出作为输入，是测量头部动力学的体现。该传递函数模型一般为[16]：

(1)

式中：p为加速度计带宽的圆频率，后续仿真中取其对应频点为2.5 Hz，取阻尼因子α=1.414。加速度计噪声在其功率谱密度平方根(square root of unilateral Power Spectral Densities throughout, PSD)频带上由低频段粉红噪声、中频段白噪声及高频段二阶微分特性噪声三部分合成。后续仿真中，取仿真步长为10 ms，设置粉红噪声相应的驱动白噪声的方均根值为4×10-11m/s2，设置二阶微分特性噪声相应的驱动白噪声的方均根值为8.9513×10-8m/s2，不考虑中频白噪声。

加速度计高阻滤波器采用CIC滤波器组实现，这里将其一般形式写成：

H(z)=H1(z1)·H2(z2)·…·HM(zM)=

(2)

式中：R1,R2, …,RM称为降采样倍数或频率变换因子，一般为大于1的正整数；D1,D2, …,DM称为微分延迟，一般取值为1或2；N1,N2, …,NM称为级联数；i=1,2,…,M为串联CIC滤波器的序号，z1,z2, …,zM为脉冲传递函数的自变量：

(3)

式中：s为连续传递函数的自变量，Ti为第i个CIC滤波器的采样周期，j为虚数单位，ω为圆频率变量。

推进子系统由推进执行传递函数与推力噪声模型组成，后续仿真取推进执行传递函数为：

(4)

式中：延时τ1=0.01 s，时间常数τ2=0.5 s，推力输出范围为1～50 μN，推力分辨率取为0.5 μN。考虑推力分辨率对残余加速度的影响时，该分辨率按均匀分布量化白噪声处理。

一般来说，推进推力噪声在其PSD频带上由低频段粉红噪声及中高频段白噪声两部分合成。从图1不难看出，在无拖曳控制回路中，推力噪声与大气阻力、太阳光压力实际上处于同等地位。由于加速度计检验质量标称位置相对于卫星质心存在偏差，该偏差通过卫星姿态运动引入的牵连加速度乘以卫星质量后也与前面3种干扰处于同等地位。本文将所有这4种干扰统称为外扰噪声，并统一采用低频段粉红噪声及中高频段白噪声两部分之和来描述。后续仿真中，设置外扰噪声中粉红噪声相应的驱动白噪声的方均根值为0.0316 μN，设置外扰噪声中白噪声的方均根值为2.1213 μN。

任何开环稳定系统都可采用单积分控制器进行串联校正，因此，采用单积分控制即可完成加速度模式无拖曳控制。不过，经验表明，在单积分控制的基础上引入比例微分项，有助于增加系统的稳定裕度。

TQ-1卫星加速度计高阻滤波器输出数据率为10 Hz。为了加快工程研制进度，无拖曳控制刷新率直接沿用了所继承微小卫星平台的姿态控制刷新率4 Hz。

2 CIC滤波器组等效

作为高阻滤波器的CIC滤波器组由多个CIC滤波器[21]串联而成，其采样时间步长很小，频响特性较为复杂，而且不便直接将式(1)、式(2)及式(4)与控制对象传递函数1/m串联在一起做系统分析、设计与快速仿真。由多个CIC滤波器串联而成CIC滤波器组的频响特性则罕有文献介绍。本文给出CIC滤波器组的一般表达形式见式(2)，本章节首先给出该滤波器组的幅频、相频表达式，随后对其进行等效。

2.1 CIC滤波器组频响特性

式(2)中M个采样周期之间满足关系式：

(5)

经推导并用频率符号f替换圆频率符号ω后，CIC滤波器组的幅频关系式写成：

A(f)=|a(f)|

(6a)

(6b)

从这个频响函数表达式可见，在无限带宽频带内，CIC滤波器组中的每个CIC滤波器都分别存在一个包含无穷多个零点的零点序列及包含无穷多个极点的极点序列，而且，滤波器组至少存在min(N1,N2)+min(N2,N3)+…+min(NM-1,NM)组零极点相消现象。

CIC滤波器组相频关系写成：

(7a)

(7b)

2.2 两种等效方法

在式(6)及式(7)基础上，可采用有理多项式串联延迟环节的方式对该CIC滤波器组频响特性进行等效。用到CIC滤波器组的控制系统必然是离散控制系统，CIC滤波器组输出数据率对应的Nyquist频点则比该控制系统输出数字信号带宽略宽。从而只需以等效精度及等效结果复杂程度均可接受为前提，对Nyquist频点以下频段幅频与相频曲线进行等效即可。

本文给出两种具体等效方法。第一种，对CIC滤波器组在第一零点频率以下频段的高精度幅频及较高精度相频曲线等效。例如，采用以下有理多项式串联一个延迟环节传递函数进行等效可以获得相当高的幅频等效精度及较高的相频等效精度：

(8)

其根源在于，该式用于幅频曲线等效的可调参数多达5个，即ωz,ζz,ωp,ζp与L1，而一个时间常数为τ的延迟环节在第一零点频率以下频段已足以完成对CIC滤波器组相频曲线的准确等效。这里，ωp及ζp为二阶振荡环节的振荡频率与阻尼，ωz与ζz为二阶微分环节中与ωp及ζp对应的参数，L1为等效结果中二阶环节的阶次。式中的延迟环节对有理多项式所致相频关系的不足部分进行补充。

不过，等效结果在第一零点频率以上频段常常出现高频上翘现象，严重偏离CIC滤波器组频响特性。引入该等效环节后，其后果可能导致原本稳定的控制系统分析结果失稳。为了克服高频上翘现象，需要在式(8)基础上继续串联一个滤波器Geq1 h(s)，对该等效结果在原CIC滤波器组第一频点以上频段进行抑制。另外，等效过程较复杂，等效结果阶次较高，离散化格式较繁琐。

卫星所用CIC滤波器组及其采用这种等效方法所得到的幅频、相频曲线如图2中实线与点划线所示。

第二种等效方法是，采用有理多项式串联一个延迟环节传递函数对CIC滤波器组做高频幅频包络等效。其含义由上图2中虚线不难看出。该方法的等效步骤是，通过观察CIC滤波器组双对数幅频曲线在高频段的整体下降趋势，提取其包络下降斜率，根据该斜率确定采用一个一阶惯性环节和/或一个或多个二阶振荡环节加以串联，再串入一个延迟环节对相位偏差进行补偿，通过这些环节相关参数的适当选取与调整，使CIC滤波器组第一个零点频率对应Nyquist频点以下低频段幅频、相频误差尽可能小。

图2 某CIC滤波器组及其两种等效传递函数的频响特性Fig.2 Frequency response characteristics of a CIC filters bank and its two equivalent transfer functions

对应第二种等效方法给出卫星CIC滤波器组的具体等效结果为：

(9)

式中：f1=f2=3 Hz，ζ=0.58，τ=0.038。后文均以上式代替原CIC滤波器组进行系统分析与仿真。

3 系统分析与综合

3.1 多周期系统的稳定裕度

如前所述，TQ-1卫星加速度模式无拖曳控制系统存在多个离散时间周期。其中加速度计高阻滤波器数据输出周期为100 ms，控制周期为250 ms，两者之间不存在整数倍关系。这给单位负反馈系统稳定裕度评估带来了挑战。

采用积分系数为ki的单积分控制器联合式(1)、式(4)、式(9)及控制对象1/m，可完成加速度模式无拖曳单位负反馈控制系统的稳定裕度分析。进一步引入2个二阶振荡环节作为抗混淆滤波器，指定其振荡频率为1 Hz，振荡阻尼为0.707，可完成另一组稳定裕度分析。将这两组分析结果汇总如表1所示。

表1 加速度模式无拖曳控制多周期系统的稳定裕度Table 1 Stability margins of acceleration mode drag-free control multiperiod system

表1中按100 ms或250 ms统一离散情形在括弧中给出的增益裕度均为采用仿真搜索得到的精确到小数点后1位的增益裕度。若将仿真搜索得到的增益裕度称为真实增益裕度，则从上表可见，加速度模式无拖曳控制指定单一周期离散系统的真实增益裕度明显比分析结果小，两周期离散系统真实增益裕度则有时介于统一按100 ms离散系统及统一按250 ms离散系统两者的实际增益裕度之间，有时比两者的实际增益裕度都小。这表明，离散系统尤其是多周期离散系统的稳定裕度难于通过分析进行准确预测，需要在系统分析与综合时留出尽可能充足的裕度，并进行仿真搜索核算。后续算例均遵守该原则。

3.2 残余加速度频域指标综合

从图1及第一章相关讨论可见，若设定输入为恒值，则决定无拖曳控制系统输出残余加速度的因素包括推力分辨率量化噪声、外扰低频噪声、外扰中高频噪声、加速度计测量低频噪声及加速度计测量高频噪声，等。在线性系统意义下，残余加速度时域方均根值及频域PSD曲线均为这些因素各自贡献的平方根合成结果。

以控制器积分常数取为卫星质量情形为例，各因素所导致的残余加速度PSD曲线及其合成结果如图3所示。

图3 残余加速度PSD分析与综合Fig.3 PSD analysis and synthesis of residual acceleration

由图3可见，量化噪声及加速度计测量低频噪声对残余加速度PSD指标的影响很小，可以忽略。外扰低频噪声、外扰中频噪声及加速度计测量高频噪声分别对残余加速度PSD低频段、中频段及高频段的形状起到决定性作用。

继续引入抗混淆滤波器或将控制器积分系数增大为2倍卫星质量，上述认识仍然成立。将3种情形下残余加速度PSD曲线绘制在一张图上，结果如图4所示。

图4 不同情形下残余加速度PSD曲线的解析结果Fig.4 Analytical PSD curves of residual acceleration in different cases

无拖曳控制指标要求主要体现于残余加速度PSD的中低频段。对比图4中实线与虚线可见，加速度模式无拖曳控制器积分系数大小对残余加速度在PSD中低频段的指标具有明显影响。积分系数越大，无拖曳控制系统带宽越宽，残余加速度在PSD中低频段指标精度越高。对比图中实线与点划线可见，引入抗混淆滤波器对残余加速度PSD曲线中的高频成分有显著的抑制作用，但对该曲线中低频段PSD指标几乎没有影响。

4 仿真与试验结果

4.1 数值仿真

基于前述系统参数对加速度模式无拖曳控制开展数值仿真，表2给出图4中3种情形对应的进入控制器的4 Hz残余加速度数据的时域指标。

表2 不同情形下残余加速度的方均根值Table 2 Root-mean-square values of residual acceleration in different cases

表2数据表明，随着积分系数的增大，残余加速度时域指标变差；抗混滤波器的引入则使残余加速度时域指标得到提升。

以表2中第一种情形继续开展研究。图5中点划线及虚线分别对应基于数值仿真结果中10 Hz加速度计输出数据与进入控制器的4 Hz数据获得的PSD曲线。

图5 积分系数为m且无抗混滤波情形下残余加速度PSD曲线的数值结果Fig.5 Numerical PSD curves of residual acceleration with integral coefficient m and without anti-alias filter

图5显示，采用进入控制器的4 Hz数据获得的PSD曲线明显比采用10 Hz加速度计输出数据获得的PSD曲线更接近实线所给出的准解析预示结果，在0.01 Hz左右中低频段具有更加优越的指标。分析认为，该现象的根源在于，4 Hz数据是经控制闭环对残余加速度PSD曲线进行塑形的结果，所以更加接近真相。仿真研究还表明，引入抗混淆滤波器后，10 Hz数据的高频成分得到显著抑制，从而相应的残余加速度PSD曲线高频折叠现象得到显著抑制，中低频段也与准解析预示结果吻合良好。

4.2 试验结果

图6给出TQ-1卫星一段持续2000 s的加速度模式无拖曳控制在轨试验结果，该组试验采用单积分控制器，但未引入抗混淆滤波器。

图6 加速度模式无拖曳控制在轨试验结果Fig.6 An in-orbit experiment result of acceleration mode drag-free control

由图6可见，残余加速度在轨试验结果的三倍方均根值约为1.95×10-8m·s-2，在0.01 Hz左右频段，PSD取值约为6×10-10m·s-2·Hz-0.5，均远优于设计指标要求。由图6中PSD曲线同样观察到，采用进入控制器的4 Hz数据获得的PSD曲线比采用10 Hz加速度计输出数据获得的PSD曲线在0.01 Hz左右中低频段具有显著优越的指标。这些指标及认识与数值仿真结果基本吻合。试验结果与仿真结果并不完全吻合的根源在于，试验系统在轨模型与参数无法准确获知。