戴 建 宇

(湖南第一师范学院数学与计算科学学院,湖南长沙410205)

0 引言

一个形式实域F如果满足条件F2+F2=F2, 则称它为一个Pythagorean域。Galois序闭域是一个有序域[1]与Pythagorean域[2],但是Galois序闭域一般不是实闭域[3]。

因为每个形式实域的特征为0,所以Galois序闭域的特征为0。

笔者在文献[4]研究的基础上讨论了具有SVD性质的代数R的一些不同的等价定义和Galois序闭域的一些性质。

Galois序闭域在具有SVD性质的代数的结构中起着重要的作用, 文献[2，8-10]已经给出了Galois序闭域的一些重要性质, 下面我们进一步讨论。

1 基础知识

引理 1[4](极分解定理) 设R为一个具有SVD性质的代数,A∈Rm×n,则A有极分解

A=PU。

(1)

由C上表示矩阵的性质(参见文献[6-7]), 不难证明公式(1)。

A=QC+RCi。

(2)

并且A=0的充要条件是Q=R=0。

引理 3R是一个具有SVD性质的代数的充要条件：R是一个具有主轴性质的代数。

2 相关结果

由文献[4]得到具有SVD(奇异值分解)性质的代数的结构定理。

(1)R为一个具有奇异值分解(SVD)性质的代数；

(a)R为一个Galois序闭域；

(b)R的任一个真Galois扩域不是形式实域；

(c)R的任一个真正规扩域不是形式实域；

(e)R上每个对称矩阵在R上相似于对角矩阵；

(f)R上每个对称矩阵在R上正交相似于对角矩阵。

由文献[4]的引理3, 我们有(a)⟺(e)⟺(f)。证毕。

推论1 设R为一个Galois序闭域, 则R是有唯一序的有序域。

3 具有SVD性质的代数的等价定义

(a)R为一个具有SVD性质的代数；

(b)R具有主轴性质,即R上每个自共轭矩阵酉相似于F上对角矩阵；

(c)R上每个自共轭矩阵相似于F上对角矩阵；

(d)对于R上每个非零矩阵A,A*A酉相似于某个非零对角矩阵D, 并且D的主对角元素均为F中元素的平方；

(e)R上一个正定自共轭矩阵与一个自共轭矩阵的乘积可以相似于F上对角矩阵；……