李永刚，杨雅菲，姜玉霞

(华北电力大学 分布式储能与微网河北省重点实验室，河北 保定 071003)

0 引 言

随着可再生能源越来越多地加入到大电网中，电能质量与稳定性问题受到了关注。以可再生能源为主的分布式发电技术得到了快速发展，而并网分布式发电系统通常采用并网逆变器将直流电能转化为高质量的交流电能并馈入电网中[1]。

由于可再生能源通常位于远离负荷中心的地方，电网呈现出较弱的电网特性，因此电网阻抗不容忽视[2]。在并网逆变器系统中，需要通过锁相环(phase-locked loop，PLL)对电网电压进行锁相，并利用其锁相信息生成并网电流的基准值[3]。所以，锁相环是实现可靠并网的一个关键环节。在弱电网情况下，锁相环与并网电流闭环通过公共耦合点(PCC)耦合在一起，共同组成了整个系统的控制环路。因此，锁相环的动态性能与检测准确度对于控制由并网逆变器传输到电网的功率与并网逆变器的运行都非常重要。

目前，部分学者从锁相环角度出发，通过改善锁相环结构来提高其动态性能与准确度，从而提高并网电流的质量。其中最常见的锁相环为同步旋转系锁相环(SRF-PLL)，其锁相原理主要通过对电压矢量的坐标变换得到电压正序分量，实现在理想工况下的电压跟踪过程[4-6]。该锁相方法具有控制简单和动态响应优良等特点，但是对于电网侧电压有突变或谐波含量较高的情况，却不能准确地获取相位信息。文献[7-9]提出了在SRF-PLL基础上引入广义积分器(SOGI)结构的方法，即形成二阶广义积分锁相环(SOGI-PLL)，不同的是该锁相环通过SOGI产生正交信号，再进行坐标变换。因此，其不仅可以实现高精度的锁相和很好的动态响应过程，而且基本不受电网电压突变的影响。

近年来，针对弱电网下单相并网逆变器的稳定性研究，越来越多的学者倾向于研究电网阻抗与锁相环带宽对并网逆变器稳定性带来的影响。SUN Jian[10]提出了适用于弱电网下的阻抗稳定性判据，即电网阻抗与逆变器输出阻抗之间的比值需要满足Nyquist 稳定判据,并在忽略锁相环的情况下，利用该稳定性判据分析了电网阻抗对并网逆变器稳定性的影响。针对电网阻抗增加导致的并网系统稳定裕度下降问题，学者们提出了电网电压前馈的相位补偿方法[11-12]。吴恒[13]等，杨苓等[14]研究了弱电网下锁相环的带宽对并网系统的稳定性影响。分析表明，锁相环带宽变大，系统的动态性会有所提高，但是稳定性会下降甚至失稳,针对该问题提出基于相角裕度要求的锁相环参数设计方法，然而这种方法却牺牲了锁相环的动态响应速度，并且需要确定锁相环的带宽从而导致过程较为复杂。因此，有必要研究锁相环中的PI调节器参数单独变化时对并网系统产生的稳定性影响，并提出锁相环参数的优化方法。

本文以弱电网下的单相LCL型并网逆变器为例，建立SOGI-PLL的小信号模型和基于阻抗分析法的并网逆变器阻抗模型；结合该模型的伯德图和奈奎斯特图，分析SOGI-PLL中PI调节器的比例参数(Kp-PLL)和积分参数(Ki-PLL)单独变化时对并网逆变器系统稳定性造成的影响，并提出一种基于稳定性的锁相环参数优化方法。搭建了基于二阶广义积分锁相环的单相LCL型并网逆变器的仿真模型，用以验证本文理论分析的正确性。

1 LCL型单相并网逆变器的数学模型

图1为典型的单相LCL型并网逆变器的结构框图，其中：逆变器侧电感L1、滤波电容Cf和网侧电感L2构成LCL型滤波器；Udc为直流侧输入电压；uinv为逆变器的输出电压；Zg为电网阻抗；ug为电网电压；uPCC为PCC点电压；Kc为电容电流反馈系数，用来抑制由LCL滤波器产生的谐振尖峰，实现有源阻尼；iref为并网电流基准值；Gi(s)为并网系统采用的电流调节器的传递函数。其工作原理是利用锁相环对电网电压进行锁相得到并网电流的基准值iref，然后与采样值进行比较，进而得到其误差信号，并将其作为电流调节器PI的输入信号，同时考虑电容电流的反馈，最终得到并网逆变器的调制波。

图1 基于电流型控制的LCL型单相并网逆变器结构框图

根据图1中给定的原理图，可以得到如图2所示的单相LCL型并网逆变器的数学模型。图中:Kpwm为调制波到uinv的传递函数，即Kpwm=Udc/utri，其中utri为三角载波的幅值；GPLL(s)为二阶广义积分锁相环的传递函数。该模型的控制环节大致可以分为两部分：一部分是由并网电流基准通过并网电流闭环到并网电流所成环路，即并网电流控制环路；另一部分是PCC点电压通过锁相环到并网电流基准所成环路，即锁相控制环路。

图2 基于电流型控制的单相LCL型并网逆变器数学模型

利用自动控制理论对图2所示数学模型进行等效变换，得到等效模型，如图3所示。该模型中电流控制回路的电流调节器采用的是PI调节器。其中,

图3 简化后的结构框图

(1)

Gx2(s)=[ZL1(s)+KcKpwm+Zc(s)]/[ZL1(s)ZL2(s)+
(ZL1(s)+ZL2(s))Zc(s)+ZL2(s)KcKpwm]， (2)

式中:Gi(s)=(kPs+kI)/s;ZL1=sL1;ZL2=sL2;Zc=1/sCf。

根据简化后的等效模型，可以写出并网电流ig的表达式，

(3)

从式(3)可以清晰看出，并网电流ig(s)由两部分组成：一部分是前项，称为指令电流的跟踪分量；另一部分是后项，称为电网电压引起的扰动分量。

由于式(3)中的并网电流基准值iref是通过锁相环检测电网电压的相位生成的，因此在考虑锁相环影响时，iref的表达式为

(4)

将式(4)代入式(3)，可得

2 SOGI-PLL数学模型

为了研究SOGI-PLL中PI调节器的参数在单独变化时对并网逆变器稳定性各自产生的影响，首先需要对SOGI-PLL进行相应的数学建模。SOGI-PLL是通过在SRF-PLL的基础上引入二阶广义积分器(SOGI)后改进而来的，其SOGI是用来生成正交信号的。这种由SOGI来重构两相正交向量的方法有效抑制了电网谐波分量的干扰[7,15]。图4为SOGI-PLL正交发生器模块(SOGI)的基本结构框图。

图4 广义正交积分器的结构图

SOGI-PLL的基本原理是通过上述SOGI构造出两个正交的正弦信号μα和μβ，再将两正交信号进行dq同步坐标系转换，进而追踪电网电压信息的过程,如图5所示。

图5 基于二阶广义积分器的锁相环控制框图Fig.5 Control block diagram of PLL based on second order generalized integrator

由图5可得，SOGI结构模块的传递函数为

(6)

式中：D(s)为二阶带通滤波器；Q(s)为二阶低通滤波器。SOGI模块的传输特性会改变传统锁相环的传递函数与小信号模型，所以在分析锁相环对并网逆变器输出阻抗的影响时，必须同时考虑这两个特性。由于锁相环是一个非线性系统，因此必须进行线性化，以便推导出该锁相环的传递函数，即变量需要用稳态变量和扰动变量之和表示。SOGI-PLL的时域方程为

(7)

由QSG输出的扰动分量可用式(8)～(9)表示。

(8)

(9)

由此，可以得到S域中的并网电流基准值,表达式为

由式(12)可推导出二阶广义积分锁相环的传递函数

从式(12)可以看出，并网电流的参考值iref不仅受uα的影响，而且还会受到其正交信号uβ的影响。SOGI结构的两个传递函数D(s)和Q(s)都会通过锁相环的传递函数来影响并网逆变器的输出阻抗。

3 考虑锁相环影响的并网系统稳定性

文献[10]提出了适用于弱电网条件下的级联系统阻抗稳定判据，即并网逆变器输出阻抗与电网阻抗之比达到Nyquist稳定准则时，并网逆变器将保持稳定。但在文献[10]中，并网逆变器的模型没有考虑到锁相环对逆变器稳定性的影响。本文需要推导考虑锁相环对逆变器影响的基于阻抗的稳定性判据，并分析锁相环参数对系统稳定性的影响。

3.1 考虑锁相环时阻抗稳定性判据

通过上节建立的并网逆变器的数学模型和二阶广义积分锁相环的数学模型，可得：

(14)

根据考虑锁相环后的并网电流公式可以画出其对应的并网逆变器的等效电路，如图6所示。锁相环的影响可以等效为引入一个负阻抗ZPLL与原有判据中电流环等效的阻抗Zcon相并联。即并网逆变器的输出阻抗等效为

(15)

根据电路图6，可得

图6 计及锁相环的并网逆变器等效电路

(16)

式中，Zinv=ZPLL∥Zcon。

通过以上分析，表明：在弱电网条件下，当考虑锁相环时系统的阻抗稳定性判据必须同时满足两个条件才可以保证并网系统的稳定。第一个条件：1/Zinv稳定；第二个条件：Zg/Zinv满足Nyquist的稳定性判据。

在文献[9,16]中已经证明：只要保证锁相环和并网电流闭环都单独稳定，就可以满足稳定判据的条件1；稳定判据的条件2需要满足的Nyquist稳定判据为Zg/Zinv在0 dB处的相位有一定的裕量。其相位裕度的表达式为

PM=|-180°+arg[Zg(j2πfc)]-
arg[Zinv(j2πfc)]|。

(17)

由于一般按照最恶劣情况来计算相位裕度，又考虑到电网阻抗中的阻性成分对其起到阻尼的作用，有利于提高系统稳定性[10]，所以本文视电网阻抗为纯感性，即电网阻抗的相位始终为90°。故式(17)可简化为

PM=90°+arg[Zinv(j2πfc)]。

(18)

只要保证在交截频率处的相位大于-90°，就能保证闭环的稳定性。

3.2 锁相环参数对并网系统稳定性的影响

表1给出了基于二阶广义积分锁相环的单相LCL型并网逆变器的具体参数。

表1 单相并网逆变器参数

根据SOGI-PLL的传递函数可以看出，调节锁相环的参数，就是调节锁相环中PI调节器的参数KP-PLL和KI-PLL。

首先，研究比例参数KP-PLL对并网系统稳定性的影响。令KI-PLL=10，KP-PLL分别取1，2.5，5，7.5，10，其余参数与表1一致。根据选定的参数分别画出每组参数所对应的Zinv与Zg的伯德图，如图7所示；同时绘制KP-PLL取1和10的Nyquist图，见图8。

图7 不同比例系数下的伯德图

图8 不同比例系数的Nyquist图

图9 不同积分系数下的伯德图

图10 放大后的不同积分系数下的伯德图

由上述理论图形可以清楚地发现：当锁相环的积分系数不变时，随着锁相环的比例系数的增加，并网逆变器的系统稳定性逐渐变差。当KP-PLL分别取1和10时，并网逆变器输出阻抗与电网阻抗的交截点处的相位依次为-59.7°和-113°，再结合Nyquist图进行分析，可得当KP-PLL=10时，系统最终失去了稳定性。

然后，研究锁相环参数KI-PLL对并网系统稳定性的影响。令KP-PLL=1.5，KI-PLL分别取500,550,600,650,700，其余参数与表1一致。根据选定的参数分别画出每组参数所对应的Zinv和Zg的伯德图，如图9和图10所示；同时分别绘制了KI-PLL取500和700时的Nyquist图，见图11。

图11 不同积分系数下的Nyquist图

通过对上述理论图形进行分析，可以发现：当锁相环的比例系数保持不变时，随着锁相环的积分系数的增加，并网逆变器系统的稳定性逐渐变差，当KI-PLL=700时，交截点处相位裕度为-103°，系统最终失去了稳定性。

3.3 仿真验证

为了验证上述理论分析的正确性，在MATLAB/Simulink中搭建基于二阶广义积分锁相环的单相LCL型并网逆变器的仿真模型，该模型中各模块的参数设置与表1给定的参数应保持一致。

(1)当锁相环的参数KI-PLL=10，KP-PLL=1时，该模型的并网电流仿真波形如图12所示。

图12 并网电流侧仿真波形

当锁相环的参数KI-PLL=10，KP-PLL=10时，该模型的并网电流仿真波形如图13所示。

图13 并网电流侧仿真波形

根据仿真波形，可以看出：在KI-PLL不变的情况，KP-PLL取1时，并网电流波形接近正弦波，而在KP-PLL取10时，并网电流波形明显发生畸变。通过傅里叶变换后，可得两波形的畸变率分别为1.68%和7.86%。由此可得，当锁相环的积分系数不变时，随着比例系数的增加，系统的稳定性越来越差，这与理论分析的结果相一致。

(2)当锁相环的参数KP-PLL=1.5，KI-PLL=500时，该模型的并网电流仿真波形如图14所示。

图14 并网电流侧仿真波形

当锁相环的参数KP-PLL=1.5，KI-PLL=700时，该模型的并网电流仿真波形如图15所示。

图15 并网电流侧仿真波形

对上述并网电流波形进行傅里叶分析后，得到相应的波形畸变率分别为2.03%和6.78%。可以发现，当锁相环的参数KP-PLL=1.5，KI-PLL=500时，波形良好，与理论分析的系统稳定性良好相一致；当参数变化为KP-PLL=1.5，KI-PLL=700时，波形发生畸变，系统失去稳定性，与理论分析一致。

4 锁相环的参数优化设计

考虑到锁相环的动态性能和并网系统的稳定性，本文提出一种基于稳定性的锁相环参数优化设计方法。通过图7和图9的对比，可以发现逆变器的等效输出阻抗幅值主要受比例系数的影响，需对比例系数取值范围进行细化分析。

令KI-PLL= 10，KP-PLL分别取1，1.5，2，2.5，3，其余参数与表1一致。根据选定的参数分别画出每组参数所对应的Zinv与Zg的伯德图，如图16～17所示。

由图16～17可分析出，在KI-PLL不变的情况下，逆变器的等效输出阻抗幅值随着KP-PLL的增大逐渐减小，即与电网阻抗的交截点逐渐左移。在KP-PLL取2.5时，可明显发现其交截点附近的相位出现下降趋势。基于上述KP-PLL对并网系统稳定性的影响分析，可得KP-PLL的取值应小于2.5。而锁相环的KP-PLL越大，锁相环的自身调节速度就越快，并且可以减小误差。综上所述，选取KP-PLL为2。

图16 不同比例系数下的伯德图

为了简化计算，可将SOGI-PLL的高阶系统简化为典型二阶欠阻尼系统[13]：

图17 放大后的不同比例系数的伯德图

(19)

图18 KP-PLL=2，KI-PLL=440.12的伯德图

从伯德图可以看出，该参数下系统交截点处的相位裕度为31.3°，满足相位裕度要求，并且Nyquist图也显示该参数下的系统具有稳定性。

图19 KP-PLL=2，KI-PLL=440.12的Nyquist图

当KP-PLL=2，KI-PLL=440.12时，对模型进行仿真。得到并网电流ig波形，并对该波形进行FFT分析，分别如图20～21所示。

图20 KP-PLL=2，KI-PLL=440.12的并网电流波形

图21 并网电流波形FFT分析

通过仿真分析，可清晰看出并网电流波形畸变率为1.54%，即该锁相环参数的选取具有合理性并且与上述理论分析相一致。

5 结 论

本文分析讨论了单相LCL型并网逆变器的数学模型和二阶广义积分锁相环的小信号模型，并利用阻抗分析法研究了SOGI-PLL的参数变化对并网稳定性的影响。理论分析和仿真分析相一致，表明：当锁相环的积分系数不变时，系统稳定性会随着比例系数的增大而变差，直至失稳。同样，当锁相环的比例系数不变时，随着积分系数的增大，系统的稳定性也会逐渐变差，直至失稳。最后，基于上述分析，本文提出了一种锁相环参数优化方法，该方法在考虑锁相环自身动态性能的基础上满足了系统的相位裕度要求。通过理论分析和仿真，验证了该参数优化方法的有效性。