胡跃辉 姚子贤 方勇 房国庆 岳明强

（合肥工业大学特种显示技术国家工程实验室光电技术研究院 安徽省合肥市 230000）

1 引言

傅里叶叠层显微成像技术（FPM）是可以通过同时恢复强度和相位分布来提供宽域高分辨率的成像技术，该技术由光学显微镜和LED 照明阵列组合而成，利用相位恢复算法成功的恢复出样本的高分辨率图像。1969年，Hoope 等提出了叠层成像技术[1-2]，在此基础上Zheng 在2013年提出了FPM[3]，由于其兼顾了高分辨率、大视场等优点，近些年在生物医学等众多领域已经引起了广泛关注和大量应用。FPM 中迭代用到的约束条件为空域中的光强信息和频域中对应的映射关系。FPM 由照明结构、成像系统、图像恢复等几部分组成,通过在频域内的迭代更新，大量低分辨率图像实现大视场、高分辨率的图像重构。

已有研究表明CCD 采集的低分辨率图像对高分辨率图像的重构质量有着直接的影响[4]，为解决这一问题，研究分别是用图像超分辨率重建对重构算法的改进和通过稀疏先验对采集的低分辨率图像的去噪处理[5]，李国燕等人[6]将离散剪切波用于MRI 图像重建中，其优良的稀疏分解和重构大大提高了MRI 图像信息采集效率和重建质量。2017年吴远等人[7]将常见的稀疏变换引入到FPM 中，对重建质量有一定提升。而传统稀疏基下的恢复算法的缺陷在于会导致图像原始信息的丢失，严重影响着重建图像质量。以此本文引入离散剪切波变换作为稀疏基[8]，其多尺度和各向异性的优势可以对对采集图像进行稀疏分解，使得重构的图像信息更加完整清晰。

2 算法思想与原理

2.1 离散剪切波变换原理

离散剪切波（Shearlet）变换能够弥补小波变换的不足，对各向异性的进行多尺度表达能力，有效逼近图像信息中的曲线状边缘信息，相比离散小波变换，能对二维图像信号进行更稀疏的表示和分解，使基于CS 的傅里叶叠层成像信息重建效果更加丰富完整。

剪切波变换理论：剪切波变换实行缩放、剪切、平移等尺度仿射变换操作基础函数后合成的带有多种尺度的高维度函数。Guo 等人于 2008年提出 Shearlet 变换。Shearlet 变换与其他多尺度变换（Curvelet、Contourlet 等）比较起来有其自身的过人之处。表现在：

（1）Shearlet 为真正的多尺度分析手段，因为它对参数中的支撑集大小和方向数量没有要求，可以自由根据自己的需求进行设置，从而可以对信号真正多尺度和多方向分解，具有各向异性；

（2）Shearlet 逆变换合成的仅有剪切波的滤波器，这样 Shearlet 的逆变换运算效率在多尺度中具有较大优势，如 Contourlet 轮廓波的逆变换就需计算方向滤波和和轮廓波滤波器。这样在图像处理中运算重构效率得到提升。

通过将离散剪切波作为稀疏先验，其多方向和各向异性的特点对图像分解主要有以下两步：

（1）多尺度剖分：用Symmlet 小波基作为母函数，对离散域的图像f 进行分解，可以得到低频子带信息 和不同方向下的高频子带信息，其中j 为分解尺度

（2）方向局部化：如图1 所示，采用方向变换函数对采集图像多个不同方向尺度的高频子带信息进行方向剖分，进而得出各方向尺度下的图像高频信息分量。重复上述步骤, 即可完成对图像的各向异性的稀疏分解。

剪切波变换为合成小波变换的一种特殊变换，合成小波概念作为离散剪切波的理论依据，其可以完成信号的多尺度多方向的的分析，经剪切波分解后获得的子带图像的面积大小与原图像相同。在二维条件下，其仿射系统形式如下：

通过对尺度参数a 和剪切参数s 进行离散化, 可实现离散剪切波变换。离散剪切波的局部化特性非常好, 基函数的支撑区域满足抛物线尺度化, 随着尺度的变化, 可精确描述函数的奇异性特征。通常取剪切矩阵B，和各向异性扩张矩阵A 为：

离散剪切波函数如下：

图1：剪切波变换流程图

图2：测试图像和孔径示意图

如果假定：

综上所述离散剪切波有下面几个优势：

（1）离散 Shearlet 拥有很强的局部特性；

（2）多尺度分解方向性突出；

（3）离散 Shearlet 变换可几乎完美地分解方向和边缘信息丰富的图像。

2.2 基于Shearlet的傅里叶叠层成像原理

傅里叶叠层成像相位恢复问题也是一种约束型凸优化问题，为了求解此类凸优化问题，可以在FPM 中引入离散剪切波作为稀疏基进行图像重构，令要重构的图像为目标的第i 个照射部分为本文中表示光瞳函数即为圆形，要从测量数据bi中重构出，其对应的优化问题可以表示为：

图3：无噪声时CFP 和STFP 算法重构效果

图4：Barbara 图像不同噪声条件下两种算法的重建质量对比

表1：无噪声情况下不同算法重构对比

交替方向乘子法（ADMM）是一种快速求解凸优化问题的方法，本文用该法去求解。令将（12）表示成增广拉格朗日形式：

其中λ1、λ2为正则项系数，h1、hi为尺度对偶变量，交替迭代优化zi、x、ψ、h1、hi，最后得到重建图像，步骤如下：

（1）首先固定图像ψ 值，中间变量x 和尺度对偶变量h1、hi，以此更新中间变量zi进行求解：

表2：有噪声情况下不同算法重构对比

将上式等效为：

所以，zi的最优解为：

（2）固定其他变量，更新中间变量x

采用硬阈值函数对式（18）进行求解，求得xk：

（3）固定其他变量，更新图像ψ：

通过与上面相同的方式对ψ 求偏导，令其为0，获得ψk的最优解：

其中FH表示傅里叶逆变换，QiH为Qi的共轭。

（4）固定其他变量，更新图像h1、hi：

以上给出了基于离散剪切波的稀疏先验来重构傅里叶叠层成像的全过程，用交替方向乘子法ADMM 和硬阈值法优化傅里叶叠层成像问题的详细公式推导，在实现过程中对上述公式中的各个变量进行更新，直到达到最大迭代次数。

3 实验与讨论

3.1 无噪声情况

本节主要对本文提出的基于离散剪切波变换的傅里叶叠层成像算法STFP 和传统的傅里叶叠层成像算法(Conventional Fourier Ptychography Algorithm, CFP)进行实图像下的仿真。仿真环境在CPU 八核 1080Ti 的计算机上，实验MATLAB2018b 为编程软件。传统的FPM 在通过点亮15×15 的可编程LED 阵列来采集低分辨率图像，本实验为了与其一致，通过15×15=225 个小孔来模拟LED阵列光源。实验中将圆形孔径平移到频谱的不同位置来采集低分辨率LR 图像，这样可以模拟不同角度LED 的照明光，孔径半径为40 个采样点，每个采样点对应图像中的一个像素，相邻孔径之间的交叠率为60%：

其中l 为相邻圆形孔径之间距离，r 为圆形孔径的半径。

为了验证本文算法的有效性，本文在仿真时选取了BM3D 标准图库中的Lena 和Barbara、Peppers 作为测试图像进行重构，实验过程中采用256×256 大小的图像 ，如图 2 所示。在实验中，将图片嵌入到512×512 的空白矩阵当中，即图片的过采样率为(512/256)×2=4，迭代开始时的输入为随机产生的256×256 的图片。

本实验采用PSNR 和SSIM 作为图像质量评价指标，对比了无噪声情况和添加高斯噪声情况下的重建图像质量，以此来对比两种算法的重构性能和抗噪性。如图3 所示，在无噪声情况下，对比了CFP 和STFP 两种算法下的重建图像。

结合表1 数据可得，对于Lena 图像通过传统傅里叶叠层成像CFP 算法重建图像丢失了部分细节信息，并且含有部分噪声，而通过基于离散剪切波变换的傅里叶叠层成像算法重建图像有效去除噪声，并且获得了更多的边缘信息，重构质量更好，其PSNR 比CFP 重构下要高出2.75dB，SSIM 值也高出0.2137。从Barbara 和Perpper 图像的重构效果来看，本文提出的STFP 算法都要更优于CFP 算法，能够获得更优的重建质量。

3.2 无噪声情况

在真实实验中，无论是图像采集过程还是传输过程，一定存在着或多或少的噪声干扰，测量值也会受到噪声影响。所以本实验添加了高斯噪声以模拟存在噪声的情况下两种算法的重构质量。噪声的标准差σ 分别为0.02、0.04、0.06，观察在不同噪声情况下两种算法的重建效果，实验结果如图4 和表2 所示。

由表可得，两种重构算法随着噪声的增大，其重建图像的性能也随之下降。但是，在相同的噪声条件下，通过基于离散剪切波变换的傅里叶叠层成像算法STFP 重建图像的PSNR 和SSIM 都要由于通过传统傅里叶叠层成像算法CFP 重构出的图像。比如Barbara图像，当σ=0.02，0.04 和0.06 的情况下，SFTP 算法的SSIM 值比CFP 算法的SSIM 值分别高出0.2525、0.2124、0.0859。随着高斯噪声σ 的增大，STFP 和CFP 受其影响也在增大，差距越来越小。但从整体数据来看，STFP 算法要明显优于CFP 算法

为了更加直观的表示数据，图4 展示了Barbara 图像在不同噪声σ 值的情况下，对比了CFP 和STFP 算法的重建质量。

由图4 可以看出，在添加了高斯噪声标准差为0.02 情况下，Barbara 图像通过传统傅里叶叠层成像算法CFP 重构出的图像依然存在噪声，且细节信息部分丢失，边缘位置明显不够清晰，而通过基于离散剪切波变换的傅里叶叠层成像算法STFP 对边缘信息重构清晰，局部信息较为完整，显著降低了噪声影响。随着σ 的增大，对CFP 算法重构质量影响较大，而STFP 算法影响比较弱，证明其具有良好的鲁棒性。

4 结论

本文根据FPM 中采集的大量低分辨率图像会直接影响着高分辨率图像的重构质量，提出了基于离散剪切波变换的傅里叶叠层成像算法对采集的低分辨率图像进行稀疏分解，以达到重构图像质量提升的目的。文中着重介绍了离散剪切波变换作为稀疏先验在傅里叶叠层成像中的应用，并进行了两组对比实验。实验结果表明：本文提出的STFP 算法要优于传统的傅里叶叠层成像恢复算法，能够显著提升重构图像质量，并具有较强的鲁棒性。