何雪晴，韦煜明

（广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541000）

1 引言及预备知识

文献[1]和[2]研究出的传染病仓室模型和阈值理论，是传染病动力学发展的良好开端。于是，许多研究者们纷纷建立了大量的流行病模型，如SIS、SIRS、SIER和SIQR等。[3-6]因为发病率函数对环境波动具有一定的影响，所以为了合理描述疾病的流行动态，文献[5]中就提出了最为典型的具有饱和发生率的SIRS传染病模型

然而它没有考虑外界环境的随机效应，因此如果设疾病的接触率β能在不同环境状态下随机切换，那么模型（1）就可以建立具有Markov切换的SIRS传染病模型，类似于文献[6]。此外，发现由感染者或易感者的相互作用，疾病发生率的非线性形式更符合实际，而在许多传染病模型中，部分病毒存活的时间短，所以在短时间内将疾病的接触率β随机扰动将更具有现实意义。因此，本文将研究具有感染者和易感者相互作用的非线性发生率的传染病模型，它的接触率β不仅可以在不同环境状态之间随机切换，而且还可以在短时间内进行随机扰动。

下面假设在连续时间Markov链r(t),t＞0的任意相邻两次跳跃之间，接触率β也会受到短时间内的Gauss白噪声扰动，如果将系统外部环境条件分为E种不同状态，记为Μ={1,2,…,E}，并且假设不同环境状态之间的切换与系统的状态相互独立，每个环境状态的停留时间服从指数分布，则在每一个环境状态e∈Μ下，令β=βe+σeξ(t)，ξ(t)表示均值为0、方差为1的Gauss白噪声，正常数σe是白噪声在环境状态e下的波动强度，根据文献[7]可知ξ(t)dt=dB(t)，B(t)是一维标准的Brown运动。……