毛素珍

(南昌工程学院 理学院，江西 南昌 330099)

1 引言

本文主要研究来源于非线性光学中的耦合非线性薛定谔方程组

(1)

其中i是虚数单位；耦合常数β表示2种物质态的相互作用：当β>0时，说明它们是相吸引的，否则就是相排斥的。

为得到式(1)的孤立波解，假设Φj(x，t)=uj(x)eiλjt，则式(1)转化为

(2)

当n≤3时，式(2)吸引了国内外许多数学家的研究兴趣，例如式(2)基态解的存在性见[1]；同步解、相分离解见文献[2-3]和文献[5]。当n=4时(注意到此时Sobolev临界指数2*=4)，式(2)变成临界问题，郭玉霞等人在文献[4]中，讨论了式(2)解的存在性、唯一性和不存在性。式(1)和式(2)的研究现状和背景，还可以见上述文献中的参考文献。

在文[6]中，M.Badiale等人研究了非线性波方程的涡旋解，他们主要通过考虑一类特殊的波函数，满足角动量不为零，从而得到涡旋解。借鉴该想法，当N=2时，近期邓金等人在文献[3]中，得到了式(1)的涡旋解存在性及其性态。本文主要讨论N≥2时，式(1)的涡旋解的存在性和唯一性。当N≥2时，式(1)会有更多的耦合项，这给该问题的研究带来了困难。

为了得到涡旋解，考虑uj是复值的[6]。定义Φj(x，t)=uj(x)ei(k0θ(x)+λjt)，其中θ(x)∈/2π，k0=0，则式(1)等价于以下方程组：

(3)

本文只考虑二维(即n=2)的情形。假设u(x)=u(|x|)且

(4)

(5)

注意到当k0=0时，式(5)即为式(2)。在本文中，考虑k0>0情形，为简便起见，假设k0≡1。注意到式(5)带有奇性项uj/|x|2，与式(2)比较，该问题更为复杂。

下面陈述本文的主要结果。 设Q(x)=Q(|x|)是方程

(6)

的唯一正基态解。记

其中对所有的i，j=1，…，N，有βij=βji。利用变分方法，可以得到以下同步解的存在性。

(7)

进一步，还可以证明定理得到的解是唯一的。

将在第3部分证明定理1和定理2，并在第2部分介绍一些预备知识。