叶丽霞，兰德新，李燕云

(武夷学院 数学与计算机学院，福建 武夷山 354300)

在种群生态学中，捕食者—食饵系统之间的关系，一直以来都是生物数学研究的重点，它对于生物界种群的死亡和发展有着重要的影响。功能性反应函数对于捕食者—食饵系统有着重要的意义，它能够确切地表现出捕食者的捕食能力。Holling[1]通过实验，得出了不同物种的三种不同的功能反应函数。文献[2-5]对Holling II 、Holling III型的捕食者—食饵系统的正周期解的存在性、正平衡点的稳定性等动力性行为建立了相应的研究成果。在生物系统中，种群的捕捞或放养在极短时间内不会对种群密度造成极大的变化，即表现为时滞现象，因此，时滞对生物的演化具有重要的影响。研究表明，建立具有时滞的生物模型具有非常重要的应用价值[6-13]。

1 基本概念

研究Rn中的微分方程组

(1)

定义1[9]若∀ε>0，∃δ>0(δ一般与t0和ε有关)，使当任一x0满足‖x0‖≤δ时，式(1)描述的系统由初始条件x(t0)=x0确定的解x(t)，对一切t≥t0均有‖x(t)‖<ε，则称系统的零解x=0为稳定的。

定义3[9]若式(1)描述系统的零解x=0为渐进稳定的，且吸引域是Rn，则系统为全局渐进稳定的。

2 主要结论

本文考虑的具有时滞和Holling III型功能反应的捕食系统被描述如下：

(2)

其中x(t)表示t时刻食饵的密度；y(t)表示t时刻捕食者的密度；r为食饵固有增长率；q为捕食者死亡率；a为食饵中间作用系数；b为捕食者中间作用的系数；m为半捕捉饱和常数；τ为捕食者从幼年到具备捕食能力所需要的成长时间；r、a、q、b皆为正数。

2.1 持续性生存

证明由式(2)可得x′(t)≤x(t)[r-ax(t)]，由比较原理知：

(3)

同理可得：

(4)

(5)

(6)

由条件(i)～(ii)知，n，N，h，H均存在，且全部大于0，则该系统是持续性生存。