何军，范子菲，何聪鸽，张安刚，郝峰军，张新顺，刘丽，徐立坤

（中国石油勘探开发研究院，北京 100083）

0 引言

压裂水平井技术是通过增加井筒与地层的接触面积，降低流体在地层中的渗流阻力，增加单井控制面积来提高油气井产能的。该技术已广泛应用于低渗特低渗、薄层油气藏及稠油油藏，并使之得以高效开发［1-3］。

准确、快速评价压裂水平井产能，成为学者们研究的热点问题之一。任宗孝等［4］在垂直裂缝水平井非稳产产能研究的基础上，应用Gringarten源函数、坐标转换及坐标评议原理，建立了倾斜裂缝压裂水平井产能评价模型，重点分析了裂缝夹角对水平井流动阶段、水平井井底压力的影响。毛新军等［5］在研究致密油藏压裂水平井产能时，利用PEBI网格表征水力压裂过程产生的不同裂缝，通过编制数值模拟程序评价压裂水平井产能。朱维耀等［6］考虑薄互层储层砂泥交互、储层平面均质而纵向非均质的特点，建立了压裂水平井开发薄互层的稳产渗流数学模型。李波等［7］基于叠加原理、势函数理论及流体力学相关原理，建立了考虑裂缝污染表皮系数、裂缝非均匀分布的压裂水平井产能预测模型，并通过正交实验分析了压裂水平井产能主控因素，指导压裂水平井部署及完井优化。牟珍宝等［8］基于水电相似理论，考虑启动压力梯度和应力敏感性，利用等值渗流阻力法建立了压裂水平井产能公式。Rbeawi等［9］建立了倾斜裂缝压裂水平井渗流模型，分析了裂缝穿透比对压力动态的影响。曾凡辉等［10-11］将裂缝分解成微元段，利用点源函数理论、积分变化和叠加原理，建立了压裂水平井半解析产能评价模型。

关于压裂水平井产能评价方法大多基于稳态渗流，仅反映油气井的稳态渗流特征。此外，早期渗流模型假设地层为无限大，裂缝为无限导流，这就导致水平井产能预测结果偏大；部分模型考虑了非稳态渗流及裂缝有限导流，但涉及Fredholm型积分的处理，求解复杂，制约了产能评价模型的应用。本文在裂缝等效井径模型的基础上，应用镜像反演及压降叠加原理建立了封闭边界压裂水平井非稳态产能分析新方法，并据此分析各种因素对压裂水平井产能的影响。本文方法具有求解过程简单、求解精度高的优点，可以满足现场压裂水平井产能预测要求。

1 封闭边界压裂水平井产能模型的建立

模型的假设条件：矩形封闭地层，储层的厚度和渗透率为常数；流体为单相不可压缩牛顿流体，黏度为常数，渗流满足达西定律；裂缝为有限导流裂缝，水平井筒为无限导流（水平井筒压降较小，可以忽略），流体由基质进入裂缝，再由裂缝进入水平井井筒；裂缝形状为矩形，贯穿整个油层；每条裂缝的参数可以不同，渗流为不稳定渗流。

1.1 裂缝等效井径

对于裂缝等效井径，Prats等［12-14］进行了深入的研究。王晓冬等［14］推导了直井有限导流裂缝的等效井径公式，其计算结果与Prats等的计算结果一致：

式中：rwe为裂缝等效井径，cm；xf为裂缝半长，cm；UfD为裂缝无因次导流能力；f（ Ufd）为裂缝无因次导流能力影响函数；Kf为裂缝渗透率，μm2；wf为裂缝宽度，cm；K为储层渗透率，μm2。

水平井裂缝中的流动由两部分构成——井筒附近的径向流动和远离井筒的线性流动。因此，相比直井裂缝中的流动，压裂水平井裂缝中的流动会在井筒附近产生一个附加压力降，这种现象称作径向聚流效应。Brown等［15］给出了井筒聚流效应的表皮系数：

因此，压裂水平井裂缝的等效井径［16］可以表示为

式中：Sc为聚流效应表皮系数；h为储层厚度，cm；rw为水平井筒井径，cm。

1.2 镜像反演

根据式（5），可以将封闭地层压裂水平井每条裂缝都等效为一口直井（见图 1，其中 rwe1，rwe2，rwe3，rwe4为相应裂缝的等效井径）。

矩形地层多口直井的生产可通过镜像反演转化为无限大地层多口井的生产（见图2）。图2中灰色区域代表原有的封闭地层，这里将图中灰色区域部分的井定义为裂缝的等效井，其他井为与之对应的镜像井。虚线矩形部分代表4倍泄流面积，整个地层用虚线矩形均匀剖分，便可得到封闭地层多口直井镜像反演的结果。在实际计算中，无需进行无穷次反演，只需在纵向和横向进行有限次反演，便能得到较好的计算结果。

图2 矩形封闭地层多井镜像反演

以4条裂缝为例。在虚线矩形上、下、左、右各取n个（n取到一定数值后，就能使计算结果收敛）这样的矩形，则这样的矩形个数为 （2n+1）2，总的井数为16×（2n+1）2。通过分析所有井在等效井处的作用，便可求得每口等效井的产量，即压裂水平井每条裂缝的产量。

在多口井进行压降叠加的基础上，无限大地层单井在任意一点产生的压降的计算公式为

综上所述，潍北凹陷至少存在两期油气充注历史，沙四段沉积中期至沙河街构造运动开始是该区油气的主要充注时期。但由于古地温梯度和埋深不同，导致油气充注时捕获的流体温度存在差异。凹陷东南部的昌70井第一期分布在50～70℃，而北部央5井在90～100℃，说明凹陷东南部烃源灶成熟度相对较低，油气充注时流体温度相对较低。同时，部分地区构造运动剥蚀后期沉降量较大，可能存在二次生排烃过程，油气充注发生在馆陶中后期至今，但仅在二次生烃区及其附近存在。此外，早期形成的油气藏可能在后来的构造运动中破坏发生次生调整形成多期成藏。

式中：pi为原始地层压力，MPa；x，y分别为地层中任意一点的横、纵坐标，cm；x0，y0分别为井点对应的横、纵坐标，cm；p（x，y，t）为地层任意一点压力，MPa；q 为产量，cm3/s；μ 为流体黏度，mPa·s；η 为导压系数，cm2/s；t为生产时间，s。

1.3 井点坐标的求取

为了求得每口井的位置坐标，选取图2中红色矩形区域为研究单元，并建立相应的坐标系（见图3）。A1，B1，C1，D1 代表与裂缝 1 相对应的直井；A2，B2，C2，D2 代表与裂缝 2 相对应的直井；A3，B3，C3，D3 代表与裂缝3相对应的直井；A4，B4，C4，D4代表与裂缝4相对应的直井。将虚线矩形区域的16口井展开，就能得到所有井的坐标。

图3 矩形封闭地层镜像反演剖分单元

裂缝 i（i=1，2，3，4）的等效井及其镜像井的 x，y 坐标可以表示为

式中：Wix为裂缝 i（i=1，2，3，4）对应的等效井及镜像井的 x 坐标构成的矩阵；Wiy为裂缝 i（i=1，2，3，4）对应的等效井及镜像井的 y 坐标构成的矩阵；Aix，Bix，Cix，Dix分别为代表 Ai，Bi，Ci，Di井及其镜像井的 x坐标构成的矩阵（该矩阵为（2n+1）（2n+1）的矩阵）；Aiy，Biy，Ciy，Diy分别为代表 Ai，Bi，Ci，Di井及其镜像井的 y 坐标构成的矩阵（该矩阵为 （2n+1）（2n+1）的矩阵）。

设 A1，A2，A3，A4 井的井点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4）。为了与 Wix，Wiy的形式保持一致，这里将A1，A2，A3，A4井的井点坐标写成矩阵的形式。首先令Xi，Yi均为 （2n+1）（2n+1）的矩阵，Xi中每个元素为xi，Yi中每个元素为yi，则等效井的井点坐标可以表示为

式中：Weix为等效井 i（i=1，2，3，4）的 x 坐标构成的矩阵；Weiy为等效井 i（i=1，2，3，4）的 y 坐标构成的矩阵。

rij为等效井 j（j=1，2，3，4）及其镜像井距等效井 Ai（i=1，2，3，4）距离的平方：

其中： （Wjx-Wejx）2，（Wjy-Wejy）2表示2个矩阵对应元素相减，然后平方；rij为一个 （2n+1 ）×4（ 2n+1）的矩阵，根据下标组合，共有16个这样的矩阵。

1.4 压裂水平井产能公式

已经得到了所有井到矩形封闭地层4口等效井之间的距离，接下来应用压降叠加原理，求每口井在等效井处的压降：

式中：Δpij为等效井j及其镜像井在等效井i处产生的压降，MPa。

当压裂水平井各条裂缝变产量生产时，此时需要用杜哈美原理求得每个时间步长的压力降：

式中：Δpij（k）为第k个时间步长下等效井j及其镜像井在等效井i处产生的压降，MPa；t（k）为第k个时间步长，s。

为了便于求解每个时间步长的qj，令

式中：fij（k）为在第k个时间步长下等效井j及其镜像井在等效井i处产生的渗流阻力，MPa·s/cm3。

由于流体在井筒的压降较小，可以忽略，每口等效井在井底处的压力是相等的，均为水平井的井底流压。因此，当只考虑1个时间步长时，针对每口等效直井都有1个压降方程。以4条裂缝为例，其方程为

式中：pwf为井底流压，MPa。

当考虑k个时间步长时，压裂水平井产能公式为

式中：Fk为在第k个时间步长各条裂缝对应的等效井及其镜像井分别作用在各个等效井处的渗流阻力构成的矩阵；Qk为第k个时间步长所有等效井产量构成的矩阵；Pk为第k个时间步长所有等效井井底压降构成的矩阵。

式（16）即为矩形封闭地层4条裂缝压裂水平井k个时间步长产能求解公式。用相同的方法，可以求出n条裂缝k个时间步长的压裂水平井产能公式，此时Fk，Qk，Pk分别为

将式（17）代入式（16），即可得到n条裂缝k个时间步长的压裂水平井产能公式求解通式。

2 实例分析

油藏及压裂水平井的基本参数为：油藏大小1500m×3 000 m，厚度 10 m，渗透率 0.01 μm2，孔隙度 10%；储层综合压缩系数 5×10-4MPa-1，流体黏度 2 mPa·s；井筒半径0.1 m，生产压差10 MPa，水平段长度500 m；裂缝长度100 m，裂缝高度10 m，裂缝宽度1 cm，裂缝渗透率 10 μm2。

2.1 公式精度及可靠性验证

通过与源函数方法［17］对比，分析本文压裂水平井产能公式的精度及可靠性。由图4可知，无论是单裂缝还是3条裂缝压裂水平井，本文的计算结果与源函数方法的结果都非常接近，二者相对误差在3%以内，从而证明了本文公式的正确性。

图4 不同裂缝条数下压裂水平井产能2种方法计算结果

2.2 压裂水平井产能与时间的关系

由图5可知，生产初期压裂水平井产能变化剧烈，之后趋于平缓。这是由于初期裂缝内液体流动受裂缝间干扰较弱，但随着生产时间的增长，裂缝间的干扰逐渐增强。随着裂缝条数的增加，压裂水平井产能增幅呈减小趋势。裂缝条数对压裂水平井产能有较大影响，所以，压裂设计时应首先考虑裂缝条数对压裂水平井的增产作用。

图5 不同裂缝条数下压裂水平井产能与时间的关系

2.3 压裂水平井每条裂缝的产能分布

图6为水平井压裂5条裂缝生产的情形。由图可知：首先，裂缝产能初期呈现急剧下降、之后趋于平稳的特征；其次，同一时刻不同裂缝的产能存在差异，表现为外部裂缝产能高、中间裂缝产能低的特征，这是由于外部裂缝受到缝间干扰弱，内部裂缝受到缝间干扰强。

图6 压裂水平井裂缝产能分布

2.4 缝长对压裂水平井产能的影响

由图7可知，随着裂缝缝长的增加，水平井产能有所增加，但增加幅度较小。所以，缝长对压裂水平井产能的影响有限，在压裂过程中只需保证裂缝缝长在一定范围即可。

图7 不同裂缝缝长对水平井产能的影响

2.5 无因次裂缝导流能力对压裂水平井产能的影响

图8为无因次裂缝导流能力对压裂水平井产能的影响。

图8 不同时间无因次裂缝导流能力对压裂水平井产能的影响

由图8可知，无因次裂缝导流能力对压裂水平井产能具有重要影响。当生产时间较短时（1 d），压裂水平井产能随着无因次裂缝导流能力的增大而显著增加；随着生产时间的增加（15，30 d），压裂水平井产能随无因次裂缝导流能力增加的趋势逐步减弱。另外，当无因次裂缝导流能力过小（例如0.1）时，压裂水平井产能急剧下降，因此，要让水平井具有较高的产能，需使无因次裂缝导流能力大于一定值。

3 结束语

本文在裂缝等效井径模型的基础上，应用镜像反演及压降叠加原理建立了封闭边界压裂水平井非稳态产能分析新方法，据此分析了各种因素对压裂水平井产能的影响。本文方法求解过程简单，求解精度高，可以满足现场压裂水平井产能预测的要求。