黄振明

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

椭圆型偏微分方程是偏微分方程的一种类型，简称椭圆型方程.这类方程主要用来描述物理平衡稳定状态，如定常状态的电磁场、引力场、反应扩散现象等，其离散谱在实践中有着广泛应用.国内外学者的主要研究成果之一，就是得到了有关谱估计的几何或解析不等式[1-6].最近，笔者在文献[7]中探讨了如式(1)的四阶椭圆型算子组的谱问题，并得到了其主次谱估计不等式.

其中 Ω⊂Rm(m≥ 2)是1个边界逐片光滑的有界区域.

受此启发，笔者自然联想到，对于问题(1)的一般情形，即如式(2)的高阶椭圆型算子组的广义谱问题，是否还具有类似的谱估计不等式呢？

其中，整数l,t,h满足l≥2，t＞h≥1，i= 1,2,… ,l；ν是Ω边界∂Ω的单位外法向量；Δ=∇·∇为 Rm上的拉普拉斯算子；aij=aji是常数(i,j=1,2,… ,l)；A=（aij）l×l是正定矩阵，且对任意l维列向量ξ= (ξ1,ξ2,… ,ξl)T，满足

在式(3)中，v1,v2均为正实数；bij=bji是Ω→R上的非负函数(i,j= 1,2,… ,l)，且B=（bij）l×l是半正定矩阵.笔者依据微分算子谱的定性理论[8]，层层推导后发现，所提问题(2)的答案是肯定的，即其确实具有类似文献[7]中的谱估计不等式.

1 预备知识

为推导方便，记l维函数列向量u= (y1,y2,… ,yl)T，l阶算子矩阵Rp(f) =fpEl×l.其中，El×l为l阶单位矩阵；p为自然数；f为任一算子.那么，问题(1)可写成矩阵形式

由于低阶谱在实际问题中表示了物体的主要特性，因此，本文仅讨论问题(4)的前2个谱，即主谱1λ和次谱2λ间的关系，记主特征向量为u，且满足规范化条件

利用问题(4)、式(5)、分部积分、式(3)和矩阵B的半正定性，有

即

另一方面，利用分部积分和kφ的定义，有

根据式(8)和式(9)，可得

再……