赵希宁 杨晓东 张 伟

(北京工业大学机械结构非线性振动与强度北京市重点实验室,北京 100124)

引言

在工程实际与科学实践中都存在大量的非线性因素,其中很多因素都可归纳为非线性波问题,因此对非线性弹性波理论的研究有着重要的理论和实际意义[1-2].孤立波和冲击波现象的研究最早可以追溯到1834 年,英国科学家Russell 偶然发现了一种在行进的过程中波形和速度没有明显变化的波,并称这种波为孤立波[3].1895 年,Korteweg 等[4]在研究浅水波的运动时,得到了能产生孤立波的浅水运动的非线性方程,并求得了孤立波解,首次证实了孤立波的存在.1965 年,Zabusky 和Kruskal[5]运用仿真手段研究了两个孤立波的碰撞特性,发现孤立波在碰撞前后,波形特性不发生变化,说明了非线性理论中不存在线性叠加原理.1970 年,Taylor 等[6]解释了没有色散项只有非线性项的孤立波现象,证明了只有非线性项的孤立波波形比较尖陡,而加入色散项后孤立波的波形变得平缓.1980 年,国内朱位秋[7]研究了弹性杆中非线性波的传播行为[7].

21 世纪以来,科学家们推导出了固体中非线性演化方程的孤立波解和冲击波解[8-12].Duan 等[13]基于非线性弹性杆的纵波运动方程,利用摄动理论证明了非线性弹性杆中存在孤立子.Parkes 等[14]利用雅可比椭圆函数展开法构造并求解了非线性波动方程的精确周期解.研究表明,用该方法可以得到许多新的周期解,且在其极限条件下可以得到更多的激波解或孤立波解.Dai 等[15-16]分别研……