田 刚，兰正凯，陈 昂，马明伟

(1.中国石油新疆油田分公司工程技术研究院，新疆 克拉玛依 834000；2.南京特雷西能源科技有限公司，江苏 南京 210000；3.中国地质大学(武汉)资源学院，湖北 武汉430074)

近年来，石油行业对非常规油气田(如致密油、页岩气等)开采的技术需求越来越大，而这种油气藏基质的渗透率往往都比较低，为了达到一定的开采效能，在工程上不可避免地要使用压裂的方法来提高水平井的产量和油气藏的采收率[1-3]。因此，水平井压裂后的产量预测与模拟的工作逐渐成为油藏工程研究人员的研究重点。

非压裂水平井的解析公式目前已经发展成熟，主要包括JOSHI公式[4-5]、BORISOV公式[6]、GIGER公式[7]、陈元千公式[8]、RENARD-DUPUY公式[9]等。这些产能公式通过将三维流动转换为二维流动，基于复势叠加原理和镜像反映原理进行数学推导而得[10]，通过解析公式对水平井产能进行快速粗略的估计，在现场开发中具有重要意义[11-13]。对于多段压裂水平井，一部分学者开始在非压裂水平井产量公式推导的基础上，进一步得出一定条件下水平压裂井产量的解析解公式，如郎兆新等[14]假设压裂水平井每条裂缝产量相同、间距相同且穿透整个油层，利用位势理论和叠加原理，推导得出了多裂缝水平井的稳态产量公式；范子菲等[15]假定油藏为各向同性，将矩形油藏通过保角变换成椭球体油藏，进而推导出水平压裂井的稳态产量为裂缝的条数、平均长度、平均开度、油藏边界尺寸、基质渗透率等函数；苗和平等[16]将模拟范围扩大到生产初期的非稳态阶段，即将压裂水平井的产量分为初期、中期和后期三期求解，其中初期采用数值求解方法，中期和后期采用解析解形式求得。这三种解析模型在现场应用中最为广泛，但需要注意的是，上述几种模型都是基于若干理想化的假设条件和一定的简化处理得出的，其预测结果与真实值必然存在一定误差，需要通过具体计算和对比得出各个模型的适用性。

本文选取了广泛应用的郎兆新方法、范子菲方法和苗和平方法进行整理分析，通过商业模拟软件建立数值模拟模型，从裂缝参数、油藏属性参数、水平井参数等方面，剖析了这三种方法在各种条件下的适用性与精度。本文研究结果对非常规储层多段压裂水平井产能预测解析模型的选择具有指导意义。

1 压裂水平井产能预测解析模型

1.1 郎兆新方法

假设压裂水平井每条裂缝产量相同、间距相同且穿透整个油层，利用位势理论和叠加原理，郎兆新等[14]推导出了多裂缝水平井的稳态产量公式，产量Q计算见式(1)。

(1)

式中：K为基质渗透率，mD；h为油藏厚度，m；N0为中间产量，计算见式(2)；ΔP为油藏的生产压差，MPa，计算见式(3)；d为井距(两相邻裂缝间距)，m；Lf为单条裂缝的半长，m；R为油藏供给半径(圆柱体或矩形油藏)，m。

(2)

Δp=pe-pwf

(3)

式中：Nf为裂缝条数；pe为油藏边界处压力，MPa；pwf为生产井的井底流压(中间裂缝与水平井段交界点处压力)，MPa。

1.2 范子菲方法

范子菲等[15]导出的水平压裂井的稳态产量Q计算见式(4)。

(4)

式中：Kh为水平渗透率，mD；Kf为裂缝渗透率，mD；B0为原油体积系数；L为水平井长度，m；rw为水平井井半径，m；Lf为Nf条垂直裂缝的平均长度，m；bf为其平均开度，m。a×b×h为油藏边界(边界a平行于裂缝延伸方向，矩形油藏)，与垂直裂缝平行的两侧为恒压边界(压力为pe)；ω1计算见式(5)。

(5)

1.3 苗和平方法

郎兆新方法和范子菲方法主要针对稳态条件下压裂水平井的产量解析解模拟；苗和平等[18]将模拟范围扩大到生产初期的非稳态阶段，即将压裂水平井的产量分为初期阶段、中期阶段和后期阶段三期求解，其中初期采用数值求解方法，中期和后期采用解析解形式求得。

初期阶段，压裂后各条裂缝由各自临近油层区域内供给，各区域互不干扰，可认为裂缝均为无穷大边界生产。假设每条裂缝产量相同、间距相同且穿透整个油层；对油藏及裂缝进行网格划分，利用五点隐式差分方法对油相渗流方程写做式(6)。

(6)

式中，Cx和Cy2,j计算见式(7)。

(7)

对于初期产量，可以将生产期t与供给半径R(t)关系，用压力降边缘半径R(t)随时间的关系计算，见式(8)。

(8)

式中：CL为液体压缩系数，MPa-1；Cf为岩石压缩系数，MPa-1。水平井产量也可用各裂缝产量之和表示，用上述数值计算结果求出。

中期阶段，裂缝之间发生相互干扰，这时各个裂缝的产量都将发生变化。此时要计算出周边油层任意时刻流入各缝临近区的流量，临近油层的总采出产量计算见式(9)。

(9)

每条裂缝的产量根据稳定渗流公式计算见式(10)。

(10)

后期阶段，油藏无穷大边界供给与生产井生产达到平衡时，地层基本上为稳定渗流，可利用等值渗流法求出每条裂缝的产量见式(11)。

(11)

式中：b(m)×h(m)为油层的垂直断面尺寸；Lf(m)×hf(m)为裂缝断面尺寸；其他参数所表示的物理量与前述相同，各物理量均采用SI单位制。

2 压裂水平井数值模型

通过商业数值模拟器(eclipse)对压裂水平井在真实地层中的产量变化进行了数值模拟，进而分别与郎兆新方法、范子菲方法和苗和平方法进行对比，揭示这些稳态解析解公式在油藏生产模拟中的适用性。

如图1所示，网格模型是基于块中心网格建立。模拟的油藏区域为长×宽×高为10 km×10 km×1 km方形油藏。裂缝采用不等间距网格来进行刻画，其中，X方向的网格大小为0.01～330 m，Y方向的网格大小为5～625 m，Z方向的网格大小为100～150 m；建立的模型网格尺度为49×19×9=8 379。模拟的生产井水平段的长度为1 000 m，水平段共压裂10段。考虑到解析模型的假设条件，数值

图1 多压裂水平井数值模拟模型Fig.1 Numerical model set up for multistage hydraulic fracturing horizontal well

模型中的裂缝均匀分布在水平井段上，裂缝半长均为25 m，主裂缝宽度为0.01 m。模拟为一次采油单相生产(无注入过程)，模拟时间2年，时间步长为1个月。模型基本物性参数见表1。为了便于数值模拟与解析解模拟结果的比较，上述数值模型均采用油单相稳态形式进行模拟。

表1 油藏压裂水平井数值模拟基本参数表Table 1 Basic input parameters for the numerical model

3 解析解与数值模拟结果对比

考虑到流体自身的重力水头损失(H)、流体流动与井筒内壁发生的摩擦效应(F)和裂缝中流体汇入水平井段可能产生的加速度效应(A)[17]，本文还采用了多段井模式，将水平井从已划分的油藏网格中剥离出来进行分段模拟，进一步比较压裂水平井在油藏、水平井、裂缝的不同参数和尺度范围内数值解与解析解的关系。考虑上述附加三效应(HFA)，并将水平井按照井段所在网格与新分井段一一对应的关系进行多段井的构建。模拟中，设井筒壁面粗糙度为0.001 m。

3.1 裂缝参数

在压裂水平井的产量模拟中，描述压裂后产生的裂缝的主要物理量有裂缝的渗透率、裂缝开度、裂缝延伸长度、裂缝间距、开裂的条数等。其中，稳态解析解模型对于裂缝分布的限制较多，如裂缝垂直均匀分布在水平井段上(裂缝与水平井段正交，裂缝间距相同)、裂缝贯穿地层(裂缝开裂深度与地层厚度相等)。表2～表4是裂缝渗透率、裂缝长度和裂缝条数在一定变化范围内变化时的数值模拟结果与解析解结果比较。在计算过程中，通过数值模拟输出的压差作为解析解计算的已知量，计算后得到的结果与初设的已知产量进行对比，其中，表2～表4解析解模拟结果后面括号中的值是解析解相对数值解模拟结果的相对误差。

表2 裂缝渗透率(裂缝开度)变化时对比结果Table 2 Model comparison for different fracture permeability(fracture width)

表3 裂缝长度变化时对比结果Table 3 Model comparison for different fracture length

表4 裂缝条数(裂缝间距)变化时对比结果Table 4 Model comparison for different fracture numbers (distance between each fracture)

通过对比结果可以发现，当渗透率较小时，郎兆新方法的计算结果大大高估实际产量；当渗透率较大时，苗和平方法的计算结果大大高估实际产量;而范子菲方法的计算结果在模拟渗透率范围内相对误差较小，拟合效果更好。将三者的解析表达式放在一起进行比对后也可以发现，范子菲方法对于裂缝分布和开展状态的描述更丰富，考虑因素更全面，失真程度更低。此外，多段井模拟时各项生产压差均在一定程度上高于普通井模式，其中，有部分算例为了保证稳态生产，使得油藏产率降低，自然多段井带来的附加效应影响也将减少。

3.2 油藏属性参数

压裂水平井的产量同样与描述油藏和基质物性(渗透率与孔隙度)相关。大尺度油藏的供给量更大，水平井的产量在相同压差下也就更高。对于多孔介质来说，渗透度与孔隙度呈正相关关系，两者都影响着油藏允许流体通过的能力，即油藏供给能力。以下就油藏厚度、油藏尺度以及基质物性等三个物理量在不同取值范围条件下进行模拟比较，对比结果见表5～表7。其中，裂缝长度取50 m，其余参数均和前述模型相同。模拟结果表明，油藏厚度变化对郎兆新方法和范子菲方法的计算误差影响小，而在油藏厚度较小时，苗和平方法的计算误差大。油藏尺度的变化对三种方法的计算结果影响都相对较小，特别是范子菲方法，其计算误差在10%以内。油藏渗透率的影响中，在致密储层，郎兆新方法的计算结果偏小，误差达到70%以上，范子菲方法和苗和平方法的计算结果相对可靠；在低渗储层(1 mD)，苗和平方法会大大高估实际的产量，误差达到了170%。

表5 油藏厚度变化时对比结果Table 5 Model comparison for different reservoir thickness

表6 油藏尺度变化时对比结果Table 6 Model comparison for different reservoir size

表7 基质渗透率(孔隙度)变化时对比结果Table 7 Model comparison for different matrix permeability (porosity)

3.3 水平井参数

压裂水平井水平段长度模拟与解析模型计算的结果见表8。由表8可知，郎兆新方法的预测结果与数值模拟的结果最接近，但是采用多段井模拟结果与常规井模拟结果在水平段较长时出现了明显的差异。当水平段为1 000 m时，多段井模拟结果的压差比常规井的模拟结果有超过1 MPa的差异。但是解析模型多段井模拟的结果拟合更好，这体现出了解析解对HFA三效应产生的额外压降有较好的适应。

表8 水平井长度变化时常规井与多段井模拟结果Table 8 Model comparison for different well length by using conventional well and multi-stage well modes

为了进一步探究三效应在附加压差中各自的贡献大小，从Eclipse模拟器在多段井模拟条件下对HFA三效应的定义以及数值模拟的实例进行讨论。

对于H(Hydrostatic)效应，Eclipse模拟器只强调流体由于重力作用导致的混合，在水平井段中间，这种效应可以忽略。

对于F(Friction)效应，Eclipse中对其带来的附加压降有这样的计算表达，计算见式(12)～式(14)。

(12)

(13)

其中，

(14)

式中：2 000≤Re≤4 000，f通过线性内插法求得；cf=4.343×10～15；cr=0.014 74；f为曼宁系数；l为水平井段长；为流体密度；D为井筒内径；Qq为局部流量(段内流量)，m3/d；e为井筒壁面粗糙度(算例中0.001 m)；μ为流体黏度，cP；Re为雷诺数。其他物理量均采用SI单位制。由此可以看出，摩阻对生产压差的影响与流体在井筒内流态通过雷诺数相关联，特别是当基质供给量较大时，水平井各段射孔汇流量较均匀，一定程度上加大了流体在井筒内的混合程度，流态趋于湍流化，附加压差较大。

对于A(Acceleration)效应，Eclipse中对流速水头损失的描述见式(15)。

(15)

式中，cf=2.679×10～15；ω为流体质量流速，kg/s；A为水平井井筒汇流面积，m2；μ为流体黏度，cP。

从上述表达式可以分析得出，当基质供给量较大时，水平井前后段流速差异小，流速水头较小。由表9可知，当水平井长度增加时，由于流体与井筒壁面的接触面积增大，摩阻对生产压差的影响增长显著，而流速水头带来的附加压差影响很小。

表9 水平井长度变化时多段井模拟三效应影响Table 9 Effects of horizontal well length on HFA by using multi-stage well mode

4 结 论

1) 目前较成熟的压裂水平井产量解析解公式都是基于经典的“双孔双渗”模型展开的，其理论基础是达西公式和平面径向流假设。各类解析模型的差异主要是对于基质和裂缝中流体向水平井段的流动过程的处理方法不同而造成的。其中，郎兆新方法和苗和平方法都只考虑了裂缝对生产的贡献；而范子菲方法则分别考虑了基质和裂缝对生产的贡献，最终通过汇流面积得出的权重进行产量的分配。

2) 对于各向同性的单相常规储层而言，解析公式仅能在一定油藏尺度及参数范围内预测压裂水平井的稳态产量，但不适用于全部。因为解析解模型需定义在严格的达西流条件下，即产量与生产压差成线性关系，但实际数值模拟时渗透率和压缩系数也都与生产压差相关，这种耦合关系需要数值迭代来完成，所以会造成一定的模拟误差。

3) 每个解析解公式都会有各自的拟合最佳尺度和参数范围。从模拟结果上看，在低渗致密储层中，范子菲方法和苗和平方法预测精度较高，而范子菲方法在拟合水平井长度和裂缝参数上也具有一定的优势。