重庆市长寿中学校 (401220) 田 鹏

平面向量是高考考查的重要知识，其中与三角形的重心、垂心、内心、外心综合考查的题目屡见不鲜.本文从多角度探究一道与外心有关的向量题，以期和同行们交流.

1 题目呈现

本题是课时作业上的一道习题，具有题干简洁，问题明了的特征.在讲评该题时，多数学生表示一时难以找到突破口，笔者课后对本题进行了深入的探究，发现是一道综合考查学生逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养难得的好题，其解题过程不乏处处彰显数学思想.为了解题方便，在此先给出两个引理.

2 解法探究

本题中的△ABC是完全确定的，外心O是△ABC三边的中垂线的交点，故O在△ABC三边上的投影为三边的中点，且满足OA=OB=OC，如果从这些性质入手，建立x,y的两个方程，则问题迎刃而解，所以有以下几种解法.

以上四种解法大同小异，充分利用了外心的各种性质，建立起了x,y的两个方程，通过解方程的思想求出了答案，那么此题还有其他解法吗？还有没有建立x,y关系式的其他方法呢？经过继续探究，发现了另外两种建立x,y关系式的方法.

图1

解法五和解法六从另一角度对该问题进行了分析，具有很大教育价值，特别是对基础较好的学生更应该培养他们分析问题，提出问题，解决问题的能力.问题是灵魂，以问题为载体，不断加强学生的创新思维意识，培养举一反三的能力，这也是新课程改革重要目标之一.那么还有没有解决这道题的其他方法呢？上……