林德慧， 陈以一,2， 李 杰

(1 同济大学土木工程学院， 上海 200092； 2 上海杉达学院， 上海 201209)

0 引言

部分包覆钢-混凝土组合结构已在国内实际工程中得到试点应用。因其便于预制装配，且具有较好的经济性指标，得到越来越多关注[1]。

本文基于对部分包覆钢-混凝土组合柱(Partially-Encased Composite steel and concrete column，简称PEC柱)单向压弯面内整体稳定承载力的数值计算，提出适合工程设计使用的计算公式。采用有限元软件ABAQUS对PEC柱进行数值模拟，首先利用试验结果验证所建模型对PEC柱压弯稳定承载力的计算能够满足工程精度需求，其次对不同截面高宽比、材料强度配比等进行参数分析，建立采用轴力-弯矩相关形式的PEC柱的单向压弯整体稳定承载力(简称压弯稳定承载力)计算公式，并对公式的准确程度进行评价。

1 有限元模型的建立与校核

1.1 有限元模型的建立

PEC柱以H形截面主钢件和填筑在翼缘间的混凝土为主体，视需要可在混凝土中设置纵筋、箍筋等配件。本文研究对象为采用厚实主钢件截面的PEC柱，主钢件截面类型为《钢结构设计标准》(GB 50017—2017)[2](简称《钢标》)中S1类截面。

(1)模型原型及试件边界条件

本文共建立了6个试件有限元模型用以模拟武志勇[3]的2个偏压长柱试件、刘杰等[4]的2个压弯长柱试件、Bergmann等[5]的2个偏压长柱试件来验证模型的可行性。其几何及材料参数、边界条件均按照实际试件参数取值。各试件的详细参数见表1。

有限元模型校核结果 表1

(2)单元选取及界面

分别采用壳单元S4R模拟主钢件、实体单元C3D8R模拟混凝土、析架单元T3D2模拟纵筋、离散刚体单元模拟构件两端的刚性加载板。

钢腹板与混凝土之间采用绑定(tie)连接，钢翼缘与混凝土之间采用面对面(surface to surface)接触关系连接，摩擦系数取为0.25，同时设置硬接触(hard contact)关系，保证混凝土与型钢之间不会相互嵌入。为确保纵筋与混凝土间的协调变形关系，把纵筋嵌入(embedded)到混凝土内部。为保证构件两端截面受力均匀，构件两端的混凝土、型钢分别与一刚性加载板绑定连接，而加载板自身的位移通过参考点(reference point)来控制。

(3)材料特性

采用理想弹塑性模型作为钢材的应力-应变本构关系，钢材的泊松比取为0.3，应力-应变曲线上的特征点(如屈服点)参数按照试验数据取值。

采用混凝土塑性损伤模型来模拟混凝土材料。混凝土单轴受压、受拉应力-应变曲线根据现行《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)[6]确定；曲线上的特征点参数(如轴心抗压强度)由试验数据确定；仅在混凝土受压时引入损伤因子，损伤因子采用能量等效原理算得。

(4)初始缺陷的设置

模型引入初始几何弯曲和残余应力。

模型统一以第一阶屈曲模态作为初始几何弯曲的分布形态。用于模型校核的试验文献中均未明确初始几何缺陷最大值，本文偏安全地将初始几何缺陷取为l/500，初始弯曲方向与试件加载弯曲方向一致。在ABAQUS中，通过“imperfection”命令设置节点的初始位移来引入初始几何弯曲。界面上的钢板与混凝土节点的初始位移需确保一致，保证二者的接触关系。

在ABAQUS建模中通过“initial condition”中的“initial stress”命令来写入初始应力，每个单元内的初始应力数值由残余应力模型在此单元内的平均数值确定。同上，由于试验未测量构件残余应力，本文参考文献[7]，采用一个适用于大多数PEC柱的简化残余应力分布图(针对焊接H形钢)，如图1所示。另有研究发现，材料的屈服强度(未考虑高强钢)对残余应力的大小及分布影响较小[8]。故在本模型中，对不同强度等级的主钢件截面均采用相同的残余应力数值。

图1 焊接H形钢的残余应力简化模型[7]

(5)算法的选择

为引入初始几何弯曲，采用线性屈曲分析(buckle)算法求解得柱子的特征值屈曲荷载。随后，为求解得考虑初始缺陷及材料非线性的构件极限荷载，采用静力弧长(static，riks)算法进行求解。

1.2 有限元模型的校核

采用6个既有试验试件共同验证模型的可靠性。试件采用厚实主钢件截面(图2)，试件的几何特性、计算长度、偏心距及校核结果如表1所示。Nu,FEM为极限荷载的有限元计算值，Nu,exp为极限荷载的试验值；H，B，tf，tw分别为截面高度、截面宽度、主钢件的翼缘厚度与腹板厚度；l0,y为构件绕弱轴方向的计算长度；e0,y为绕弱轴方向的偏心距。Nu,FEM与Nu,exp平均偏差为22.6%，说明本文模型偏安全，可用于后续分析及公式校核。

图2 有限元模型截面形式及参数

2 参数分析

2.1 参数选取和范围

为获取PEC压弯柱的稳定承载力，用于后续公式检验，利用数值模型，改变偏心距离，绘制了共1 260个不同长细比的PEC柱的轴力-弯矩曲线。

分析构件可分为5组，具体参数如表2所示。A，B组构件改变参数为截面高宽比，截面高宽比分别为4∶3，1∶1，2∶1。第C，D，E组构件改变参数为材料强度配比，钢材强度等级分别为Q235，Q345，Q420，混凝土强度等级分别为C20，C30，C40，未考虑高强钢或高强混凝土。

有限元分析构件参数 表2

(1)几何属性及边界条件

计算构件截面形式如图2所示，未配置纵筋、箍筋等配件。构件长细比λ分别为10，20，40，50，60，70，80，90，100，110，120，130，能覆盖多高层建筑结构中常见的柱子参数。

为便于修改偏心距离，PEC压弯柱模型边界条件设置如下：绕强轴、弱轴方向均为一端固接、一端自由，并约束弯矩作用平面外的变形。绕强轴、弱轴方向的偏心距e0,x，e0,y均为0，5，10，20，40，90，140，200，280mm。

(2)材料特性

采用理想弹塑性模型模拟钢材，屈服点按照《钢标》取值。采用混凝土塑性损伤模型模拟混凝土材料。混凝土单轴受压、受拉应力-应变曲线、曲线上的特征点参数(如轴心抗压强度)根据现行《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)[6]确定；其余设置与1.1节一致。

(3)其他

单元属性及相互作用关系、初始缺陷的设置、算法选择的具体设置与1.1节一致。

2.2 轴力-弯矩相关曲线

部分构件极限状态时的轴力-弯矩相关曲线如图3所示。横坐标为模型计算所得极限弯矩Mu,FEM与基于全截面塑性发展准则计算的截面受弯承载力Mp比值，纵坐标为模型计算所得极限轴力Nu,FEM与截面受压承载力Npr比值。Mp，Npr的计算方法详见3.1节。

图3 部分构件轴力-弯矩相关曲线

由图3看出可知：1)随着偏心距增大，同一长细比下极限轴力逐渐减小，极限弯矩逐渐增大；随着长细比增大，同一偏心距下极限轴力与极限弯矩逐渐减小。2)长细比较小(如λ=10～20)曲线关于原点外凸，与纯钢构件和混凝土构件的截面极限承载力特征相同；但当长细比较大时，有的曲线呈现内凹趋势，如图3(d)中长细比大于60的情况，这与纯钢构件类似，具有整体失稳时未发展到全截面塑性的特点，提示了在构件稳定计算时借鉴钢压弯构件设计方法的可能性。3)长细比较小以至截面承载能力起控制作用时，钢筋混凝土构件截面会呈现明显的大小偏心分界特征，轴压比低于分界点的大偏心范围内，轴力、弯矩会同步增长，分界点上方则呈现轴力增大弯矩减小或弯矩增大轴力减小的趋势，PEC构件在某些情况下也有这一特点，如图3(e)，(f)中对应长细比为10的曲线，但大多数情况下该特点不明显，此范围内接近一条垂直线(如图3(a)，(b)，(c)，(d)，(g)，(h)，(i)各曲线)。

对PEC柱压弯短柱而言(如λ=10的PEC柱)，其破坏形式、受力性能与钢筋混凝土压弯短柱类似[9]。在偏心距较小时，靠近轴力一侧的主钢件翼缘总能受压屈服、远离轴力一侧的主钢件翼缘可能受拉也可能受压，但一般达不到屈服，最终极限承载力的丧失以受压区混凝土破坏为标志；在偏心距较大时，靠近轴力一侧的主钢件翼缘受压屈服的同时，远离轴力一侧的主钢件翼缘达到受拉屈服，最终极限承载力的丧失同样以受压区混凝土破坏为标志。对第二种破坏形式，由于轴力产生的压应力与弯矩在受拉区产生的拉应力方向相反，弯曲拉应力有一部分被压应力抵消。故在一定压弯比范围内，轴力与弯矩共同作用下的极限弯矩值比纯弯下的弯矩值大，在轴力-弯矩曲线中表现为类似混凝土构件大偏心范围内的变化趋势。

对比图3中各曲线可知，压力与弯矩共同增大这个阶段只占压弯过程的一小部分，且这个阶段的大小、临界点随着材料、截面、长细比等因素改变而改变，过程较为复杂。对λ>40的PEC柱，这种情况都已消失。故在构建工程计算公式时，可偏安全地忽略压力、弯矩共同增大的效果，不区分转折点，进而简化公式形式。

3 压弯稳定承载力计算公式

3.1 欧洲规范公式

针对采用厚实主钢件截面的PEC柱，欧洲规范EN 1994-1-1[10]第6.7.3.4，6.7.3.6条采用以下公式来计算压弯稳定承载力：

(1)

Npr=faAa+0.85Acfc′+Arfr

(2)

(3)

(4)

式中：Nd，Md为PEC柱轴力、弯矩设计值；Npr为考虑纵筋作用的截面受压承载力；Mp为基于全截面塑性发展准则计算的截面受弯承载力，如图4，5所示；Ncr,1′为考虑混凝土折减的轴压屈曲荷载；μd为考虑轴力作用的弯矩承载力，如图6计算；β为等效弯矩系数，按欧洲规范EN 1993-1-1[11]计算；αM根据钢材强度等级，取为0.9或0.8；φ为稳定系数，与相对长细比λn有关，绕强、弱轴失稳时按欧洲规范EN 1993-1-1中b，c曲线计算；fa，fc′，fr分别为主钢件屈服强度、混凝土圆柱体抗压强度、纵筋屈服强度，本文取标准值；Aa，Ac，Ar分别为主钢件、混凝土、纵筋截面面积；Ea，Ec，Er分别为主钢件、混凝土、纵筋弹性模量；Ia，Ic，Ir分别为主钢件、混凝土、纵筋主惯性矩；l0为构件计算长度。

图4 Mp计算示意图(绕强轴受弯)

图5 Mp计算示意图(绕弱轴受弯)

图6 μd计算示意图

3.2 本文建议公式

欧洲规范EN 1994-1-1中压弯稳定承载力计算公式(式(1)～(4))采用分项表达方式。本文基于数值分析结果，参考《钢标》，建议采用轴力-弯矩相关方程构建压弯稳定承载力计算公式，具体如下：

(5)

(6)

Npr=faAa+fcAc+frAr

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

式中：Ncr,2′为考虑混凝土折减的轴压屈曲荷载；β为等效弯矩系数，按《钢标》取值；φ为稳定系数，与相对长细比λn相关，其计算方法有两种，一是按照《钢标》b，c类柱子曲线计算，二是按照更新缺陷系数的柱子曲线计算，具体计算详见文献[12]第2.2.3节。

4 公式适用性讨论

4.1 试验值与公式计算值对比

表3，4对比了既有PEC压弯中长柱的试验值与公式计算值。表中：Nu,d1，Nu,d2为按照式(5)～(12)计算的压弯稳定承载力设计值，前者按照《钢标》中b，c曲线计算；后者根据更新的柱子曲线计算；Nu,d3为按照式(1)～(4)计算的压弯稳定承载力设计值；Mu,exp为试验一阶极限弯矩，该值根据试验加载方式不同，分别取为Nu,exp与试验实测偏心距e0x或e0y之积、水平荷载Vu,exp与试件实际长度l之积。

试验值与公式计算值对比(绕强轴) 表3

由表4可发现，除试件C1-S外，其余试件的Nu,exp均大于Nu,d1，Nu,d2，Nu,d3，绕强轴失稳时相对误差的平均值分别为56%，55%，49%，绕弱轴失稳时相对误差的平均值分别为53%，50%，46%。对比Nu,d1，Nu,d2与Nu,d3可见，欧洲规范EN 1994-1-1公式计算值与试验值比值的平均值稍优于本文建议公式计算值与试验值比值的平均值，但其标准差稍大，说明离散性更大。

试验值与公式计算值对比(绕弱轴) 表4

4.2 有限元计算值与公式计算值对比

因上述试件相对长细比、截面尺寸、材料强度等变化范围小，为更全面地考查公式可靠性，进一步对比了Nu,FEM与Nu,d1，Nu,d2，Nu,d3。部分试件数据见表5，6。Mu,FEM为有限元模型计算所得一阶极限弯矩，为Nu,FEM与偏心距e0乘积；由于模型边界条件为一端固接、一端自由，故绕弱轴、绕强轴失稳时β均取为1。

有限元计算值与公式计算值对比(绕强轴) 表5

有限元计算值与公式计算值对比(绕弱轴) 表6

绕强轴失稳时Nu,FEM与Nu,d1，Nu,d2，Nu,d3相对误差的平均值分别为31%，29%，6%，标准差为21%，20%，8%；绕弱轴失稳时相对误差的平均值分别为28%，26%，7%，标准差为21%，22%，11%。由对比结果可知，公式均能较好地反映PEC柱压弯稳定承载力，可用于工程实际；欧洲规范EN 1994-1-1公式较本文建议公式更经济，但其中约30%的试件的公式计算值小于有限元计算值，说明该公式有一定不安全性。

选取示例试件(H×B×tf×tw=200mm×150mm×10mm×8mm，Q345钢，C30混凝土)的部分计算结果，如图7所示。图中，“本文公式1，2”为按照式(5)～(12)计算的压弯稳定承载力设计值，前者按照《钢标》中b，c曲线计算；后者根据更新的柱子曲线计算；“欧规公式”为按照式(1)～(4)计算的压弯稳定承载力设计值。由图可知，本文建议的两个公式差距不明显，欧洲规范公式计算值与数值计算结果贴近，但有部分数据偏不安全。

图7 公式计算结果比对(试件1，4)

5 结论

本文以采用厚实主钢件截面的PEC压弯柱为对象，对其单向压弯平面内整体稳定承载力进行了数值分析，对用于工程的稳定承载力计算公式进行了研究。主要结论如下：

(1)从PEC压弯柱的轴力-弯矩曲线看出：随着长细比的增大，同一偏心距下的极限荷载与极限弯矩均逐渐减小，且轴力-弯矩曲线中类似钢筋混凝土构件大偏心范围内受压和受弯承载力共同增长的现象不明显，多数情况下接近垂线。

(2)提出了PEC柱单向压弯时平面内整体稳定承载力的相关公式。

(3)利用既有试验数据、有限元计算数据对平面内整体稳定承载力公式的适用性、可靠性进行校核。结果显示，在绕强、弱轴失稳时公式均偏安全且经济，可用于实际工程中。在某些范围内，优于可能偏不安全的欧洲规范计算公式，且具有离散性更小的优点。