胡 岚,符方健,李 倩

(1.四川财经职业学院 通识与人文教育学院,成都 610000;2.琼台师范学院 理学院,海口 571127)

0 引言

本研究使用值分布论的基础知识及Nevanlinna常用理论的标准符号[1-2],其中:对于复平面上的亚纯函数f(z),其涉及到的符号S(r,f)表示任意满足S(r,f)=o{T(r,f)}(r→∞)的量,可能除去r的一个线性测度有限集合,且它每次出现并不一定相同。如果亚纯函数a(z)满足等式T(r,a)=S(r,f),那么称a(z)为f(z)的一个小函数。设f(z)与g(z)为复平面上的两个非常数亚纯函数,小函数a(z)称为亚纯函数f(z)与g(z)的CM(或IM)公共小函数,当且仅当在计重数(或不计重数)的情况下,f(z)-a(z)与g(z)-a(z)具有公共的零点。

用Ek(a,f)表示f(z)-a(z)的k(∈+正整数集)重零点(重级零点按其重数计算)的集合,Ek)(a,f)表示f(z)-a(z)的m(≤k)重零点的集合,即Ek)(a,f)=∪Em)(a,f)。E(k(a,f)表示f(z)-a(z)的n(≥k)重零点的集合。Ek(a,f)=Ek(a,g)表示f(z)-a(z)的k重零点当且仅当它是g(z)-a(z)的k重零点。用

分别表示相应集合Ek(a,f),Ek)(a,f)与E(k(a,f)的密指量

其中:

f(z)与g(z)权分担(a,k)表示f(z)-a(z)与g(z)-a(z)具有公共的零点,当m≤k时,若z*是f(z)-a(z)的m重零点当且仅当z*是g(z)-a(z)的m重零点;当时m>k,若z*是f(z)-a(z)的m重零点当且仅当z*是g(z)-a(z)的n(n>k且n不一定等于m)重零点。因此,f(z)与g(z)的IM或CM的公共小函数,可以表示为f(z)与g(z)的权分担(a,0)或(a,∞)。

定理A[2]2(Nevanlinna第一基本定理) 设f(z)为区间|z|

定理B[2]18(对数导数引理)设f(z)为复数域上的非常数亚纯函数,则

本研究主要利用值分布论的基础知识,将随机微分方程作为一种重要的数学工具(主要参考了文献[3-5]),探讨导函数的唯一性定理。

1964年,杨乐研究导函数的唯一性,得到了如下关于亚纯函数导函数的4CM值定理。

定理C[6]设f(z)与g(z)为复平面上两个超越亚纯函数,k为正整数,aj(j=1,2,3,4)为四个判别的有穷复数,若aj(j=1,2,3,4)为f(k)(z)和g(k)(z)的CM公共值,则f(k)=g(k)。