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B-矩阵线性互补问题的误差界估计*

2021-05-11董瑛雪莫宏敏

关键词:算例对角线性

董瑛雪,莫宏敏

(吉首大学数学与统计学院,湖南吉首 416000)

线性互补问题LCP(M,q)在数学规划、市场均衡、双矩阵对策等领域都具有广泛的应用[1-3].其数学模型为:求一向量x∈Rn,满足

x≥0,Mx+q≥0,(Mx+q)Tx=0,

其中M=(mij)∈Rn×n为给定的实矩阵(Rn×n表示所有n阶实矩阵构成的集合),q∈Rn为给定的实向量.2006年,陈小君等[4]将P-矩阵线性互补问题的误差界计算问题转换成P-矩阵线性区间系统问题,并给出了当矩阵M是P-矩阵时线性互补问题的误差界估计式:

其中:x*是LCP(M,q)的解;r(x)=min{x,Mx+q};D=diag(d1,…,dn)(0≤di≤1).近年来,有学者得到矩阵M为某些特殊矩阵类时的误差界估计式[5-7].笔者拟给出P-矩阵的子类B-矩阵线性互补问题的新的误差界估计式.

1 预备知识

为了叙述方便,引入如下符号:

fj=max{uj,1+uj(s(j)-lj)} .

定义2[8]设A=(aij)∈Rn×n,若对于∀i,j∈N+,且j≠i,有

则称A为B-矩阵.

引理1[8]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩阵,则A是P-矩阵.

引理2[9]若A=(aij)∈Rn×n是B-矩阵,则A是弱链对角占优B-矩阵.

引理3[9]若A=(aij)∈Rn×n是弱链对角占优B-矩阵,则A是P-矩阵.

2009年,García-Esnaola等[10]首次得到B-矩阵线性互补问题的误差界估计式:设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵,令M=B++C,其中

(1)

(2)

2016年,李朝迁等[11]对(2)式进行改进,得到B-矩阵线性互补问题的一个新的误差界估计式:设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵,令M=B++C,其中B+=(bij)形如(1)式,则

(3)

其中:

(4)

2016年,李朝迁等[9]证明了B-矩阵是弱链对角占优B-矩阵,并首次给出了弱链对角占优B-矩阵线性互补问题的误差界估计式:设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,则

(5)

其中:

(6)

引理5[10]若H∶=(h1,h2,…,hn)Te,e=(1,1,…,1),h1,h2,…,hn≥0,‖(I-H)-1‖∞≤n-1.

引理6[11]设γ>0和μ≥0,则对于∀x∈[0,1],有

引理7[12]设A=(aij)∈Rn×n是严格对角占优M-矩阵,则有

2 主要结论

定理1设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,则有

(7)

证明令MD=I-D+DM,则

(8)

由引理7可得

(9)

由引理6可得

利用引理4和引理6对(9)式进行不等式的放缩,可得

从而,

(10)

由(8),(10)式可知(7)式成立.证毕.

定理2设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,则有

(11)

证明由于B+是具有正对角元素的严格对角占优矩阵,因此

0≤uj(B+)<1,0≤lj(B+)<1,0≤fj(B+)≤1,

(12)

(13)

(14)

由(12)~(14)式可知(11)式成立.证毕.

对P-矩阵M,有如下结果[1]:

其中:D=diag(di),0≤di≤1(∀i∈N+);‖·‖p(p≥1)是向量诱导的矩阵范数.类似于文献[10]中的定理2.4,运用定理1可得如下结论:

推论1设M=(mij)∈Rn×n是B-矩阵,令M=B++C,B+=(bij)形如(1)式,则有

3 数值算例

例1考虑B-矩阵

令M=B++C,其中

由(3)式可得

由(5)式可得

由(7)式可得

由此可知, (7)式优于(3),(5)式.

例2考虑B-矩阵

由(2)式可得

当t→+∞时,30(t+1)→+∞,因此该数值结果会趋于正无穷.

由(3)式可得

当t=1时,

当t=2时,

当t=10 000时,

当t=1 070时,

由(5)式可得,对于∀t∈N+,有

由(7)式可得

当t=1时,

当t=2时,

当t=10 000时,

当t=1 070时,

由此可知,(7)式优于(2),(3),(5)式.

由数值算例的结果可知,定理1中的误差界估计式改进了文献[9-11]中的结果.

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