邱赛兵, 束彦军

一类具有混合时滞的离散型递归神经网络稳定性分析

(1. 湖南财政经济学院 数学与统计学院, 湖南 长沙, 410205; 2. 济南大学 数学科学学院, 山东 济南, 250022)

为了进一步降低具有混合时滞离散型递归神经网络系统稳定性判据的保守性, 建立了1个改进的基于自由权矩阵的双重求和不等式, 通过构造1个新的含更多激励函数信息的Lyapunov-Krasovskii泛函, 结合Jesen不等式和2个改进的求和不等式估计所构造Lyapunov-Krasovskii泛函前向差分的上界, 获得了保守性更低的一类具有混合时滞的离散型递归神经网络系统全局渐近稳定性判定条件, 并结合数值实例验证了所得结论的有效性和优越性。

神经网络; Lyapunov-Krasovskii泛函; 自由权矩阵不等式; 线性矩阵不等式

1892年, 俄国数学家A.M.Lyapunov基于系统的状态空间描述法, 提出了直接判断动力系统稳定性的一般理论。近年来, 随着计算机技术的进一步发展, 时滞神经网络的稳定性分析与研究越来越受到广大学者的重视, 并在动力系统领域取得了许多稳定性的结果[1]。对时滞神经网络稳定性研究的主要目标是寻找最大的允许时滞上界, 使所考虑的系统维持稳定。并且, 可允许的时滞上界越大, 系统的保守性越低。因此, 如何得到一些易于检验、保守性更低的稳定性判定标准, 已成为众多学者的研究目标。另外, 在神经网络的实际应用中, 通常需要将连续系统关于时间离散化, 即离散时间神经网络模型[2]。理想情况下, 离散时间模型应继承连续时间网络的动力学行为, 并与连续时间网络保持功能相似性。不幸的是, 即使在很小的采样周期内, 离散化也不能始终保持连续时间类似的动力特性[3]。因此研究离散型神经网络系统的动力学行为是十分必要的。

文献[9]提出了一个基于Wirtinger的离散不等式, 此不等式包含Jensen不等式作为一个特例。文献[10]中还提出了一个新的基于自由矩阵的求和不等式, 它比基于Wirtinger的不等式具有更低的保守性。为了进一步降低保守性, 在文献[10]的基础上, 本文建立了一个新的广义自由权矩阵双重求和不等式, 推广了文献[10]中基于自由矩阵的求和不等式。进一步, 将新的求和不等式应用于一类具有混合时滞的离散型神经网络的稳定性分析, 给出了一个保守性更低的稳定性判据。

为下文表述方便, 约定R×m表示全体×阶实矩阵, R表示维实欧几里得空间;和0×m分别表示阶单位矩阵和×阶零矩阵, *表示对称矩阵中的对称项, Sym{} =+T。

1 系统描述

考虑如下具有混合时滞的离散型递归神经网络系统

引理证明完毕。

2 主要结果

证明 考虑如下Lyapunov-Krasovskii泛函

由引理2及式(3)得

由式(8)、(9)得

利用引理3估计式(12)中的第2、4、5项得

由式(12)～(15)得

利用引理4, 可得

为了进一步减少系统的保守性, 引入零方程

3 数值实例

下面用一个仿真数字实例来验证定理1给出结论的有效性和优越性。

例1 考虑具有混合时滞的离散型神经网络系统(1), 具体参数如下:

对于该例, 利用Matlab软件中的LMI工具箱, 假设时滞下界1分别取值为2、4、10、20时, 利用文献[17]的结论得到变时滞()的最大允许时滞上界2分别为5、8、14、24。而利用本文定理1的稳定性条件可求得最大允许时滞上界2分别为11、13、19、29。显然, 本文定理1获得的稳定性条件比文献[17]具有更低的保守性。图1描绘了当变时滞2≤()≤ 20, 初始值(0) = [0.1,-0.1]T,(()) = [0.3tanh(1()), 0.3tanh(2())]T,() = e-2i时系统的状态()的响应曲线。由图1的仿真结果可知, 系统的状态是渐近稳定的, 这说明定理1得到的稳定性条件是可行的。

4 结束语

通过构造一个新的含有更多激励函数信息的Lyapu- nov-Krasovskii泛函, 并利用2个改进的自由权矩阵不等式分别估计在处理泛函的差分时出现的单重求和项和双重求和项, 获得了一类具有混合时滞的离散型神经网络系统渐近稳定性条件。该条件以线性矩阵不等式的形式给出, 易于通过Matlab 软件中的LMI工具箱进行检验。最后的仿真数值实例验证了所得结论的有效性和优越性。并且, 所获得的稳定性条件能进一步扩展应用到神经网络系统的状态估计、同步、无源性等动力学行为分析中。

图1 例1中x(k)的状态响应曲线

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Stability analysis on discrete-time recurrent neural networks with mixed delays

Qiu Saibing1, Shu Yanjun2

(1. School of Mathematics and Statistics, Hunan University of Finance and Economics, Changsha 410205, China; 2. School of Mathematics Sciences, University of Jinan, Jinan 250022, China)

In order to further reduce the conservatism of stability criteria for discrete-time recurrent neural networks with mixed delays, an improved double summation inequality based on free-weighting matrices is proposed., and a new Lyapunov-Krasovskii functional with more information on activation function is defined. When estimating the difference of the considered Lyapunov-Krasovskii functional, the Jensen inequality and two improved summation inequalities are introduced. Then a new asymptotic stability criterion with less conservative is obtained. Finally, one numerical example is presented to demonstrate the effectiveness and superiority of the result.

neural networks; Lyapunov-Krasovskii functional; free-weighting matrice inequality; linear matrix inequality

O 75.13

A

1672–6146(2021)02–0005–06

10.3969/j.issn.1672–6146.2021.02.002

邱赛兵, csuqsb@163.com。

2020–12–11

国家自然科学基金项目(61907022); 湖南省教育厅基金项目(19C0316);山东省自然科学基金项目(ZR9BF015)。

(责任编校: 张红)