傅鑫, 陈晔

谱负Lévy过程关于末离时的联合Laplace变换

傅鑫1, 陈晔2

(1. 长沙理工大学 数学与统计学院, 湖南 长沙, 410114; 2. 湖南文理学院 数理学院, 湖南 常德, 415000)

谱负Lévy过程; 末离时; Laplace变换; 尺度函数

谱负Lévy过程是没有正跳, 并且具有平稳独立增量的随机过程[1–2]。有关谱负Lévy过程的研究被广泛应用于风险理论、数理金融以及分枝过程中[3–4]。末离时是随机过程最后一次离开某个区间的时间, 在风险模型中, 它可作为公司最后恢复正常即不再破产的时间或者最终破产的时间。近年来, 许多学者对末离时在随机过程中有了一定的研究。Cerber[5]在经典风险理论模型中, 用鞅方法研究了某种水平的末离时的Laplace变换。Chiu等[6]利用首出时的密度与Lévy过程的边际密度之间的恒等式, 研究在某种给定水平下末离时的分布以及末离时、首达时还有两者之间的联合分布的Laplace变换。Baurdoux[7]推广了文献[6]中的结果, 根据强马氏性这一性质还有指数随机变量的无记忆性, 发现独立指数时间前的末离时影响着谱负Lévy过程的Laplace变换。Li等[8]采用泊松方法研究在退出时之前在区间(0,)和区间(,)的占位时, 得到谱负Lévy过程在这2个区间上的占位时的Laplace变换。Li等[9]通过利用泊松方法和扰动方法, 其目的是为了克服谱负Lévy过程的无限变差运动的情形以及末离时不是停时的问题, 结论最后得到了谱负Lévy过程关于末离时的联合Laplace变换。叶[10]运用文献[9]中的2种方法, 结合谱负Lévy过程的波动理论, 空间齐次性和强马氏性, 计算了关于谱负Lévy过程负半轴末离时与占位时的联合Laplace变换。

1 预备知识

对于0 <<和> 0, 有

另外, 对于> 0有

和

2 主要结论

综上得到定理1的结论。

综上定理2得证。

[1] J Bertoin. Regularity of the half-line for Lévy processes [J]. Bulletin Des Sciences Mathéma-tiques, 1997, 121(5): 345–354.

[2] A Kuznetsov, A E Kyprianou, V Rivero. The theory of scale functions for spectrally negative Lévy processes [C]//Lévy matters II. Berlin, Heidelberg: Springer, 2012: 97–186.

[3] H Guérin, J F Renaud. Joint distribution of a spectrally negative Lévy process and its occupa- tion time, with step option pricing in view [J]. Advances in Applied Probability, 2016, 48(1): 274–297.

[4] A E Kyprianou. Introductory lectures on fluctuations of Lévy processes with applications [M]. Berlin: Springer Science & Business Media, 2006.

[5] H U Gerber. When does the surplus reach a given target? [J]. Insurance: Mathematics and Eco-nomics, 1990, 9(2–3): 115–119.

[6] S N Chiu, C Yin. Passage times for a spectrally negative Lévy process with applications to risk theory [J]. Bernoulli, 2005, 11(3): 511–522.

[7] E J Baurdoux. Last exit before an exponential time for spectrally negative Lévy processes [J]. Journal of applied probability, 2009, 46(2): 542–558.

[8] Li Y, Zhou X. On pre-exit joint occupation times for spectrally negative Lévy processes [J]. Statistics & Probability Letters, 2014, 94: 48–55.

[9] Li Y, Yin C, Zhou X. On the last exit times for spectrally negative Lévy processes [J]. Journal of Applied Probability, 2017, 54(2): 474–489.

[10] 叶娟娟. 关于谱负Lévy过程负半轴末离时的拉普拉斯变换[D]. 湖南长沙: 长沙理工大学, 2019.

Joint Laplace transforms about last exit time for spectrally negative Lévy processes

Fu Xin1, Chen Ye2

(1. College of Mathematics and Statistics, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China; 2. College of Mathematics and Physics, Hunan University of Art and Science, Changde 415000, China)

spectrally negative Lévy process; last exit time; Laplace transform; scale function

O 211.6

A

1672–6146(2021)02–0001–04

10.3969/j.issn.1672–6146.2021.02.001

傅鑫, 894769100@qq.com。

2020–10–23

国家自然科学基金(11571052,11731012); 湖南省自然科学基金(2018JJ2417, 2019JJ50405); 湖南省教育厅优秀青年项目(18B401); 湖南省工程数学建模与分析重点实验室开放基金(2018MMAEZD02); 湖南文理学院博士科研项目。

(责任编校: 张红)