谢雨航，邓念武，刘勇军

(1.武汉大学水利水电学院，湖北 武汉 430072；2.中国长江三峡集团有限公司，湖北 宜昌 443133)

作为一门新兴的理论体系，分形理论有独特的魅力，目前已经被证实该理论可以较好地应用到自然科学以及社会科学中[1]。用分形理论分析杂乱无章的复杂系统，可发现它们仍然具有数学规律，分形理论为时间序列分析供了新的分析途径。大坝安全监测数据属于时间序列，监测数据也具有随机性、多尺度变化等复杂的特性，分形理论可以有效识别时间序列包含的内在规律。本文将从多重分形去趋势波动分析、非对称多重分形去趋势波动互相关分析及分形预测等方面对多重分形进行研究，以分析非平稳时间序列，评估两时间序列的相关性并预测大坝位移发展趋势。

1 多重分形理论

1.1 多重分形去趋势波动分析(MF-DFA)原理

Kantelhardt J W和Zschiegner S A等学者结合去趋势波动分析(Detrended Fluctuation Analysis，简称DFA)方法与多重分形理论(Multifractal theory，简称MF)[2]，改进性地提出了MF-DFA方法。该方法统计时间序列在每个分割区间上波动的平均值，计算时间序列波动函数的幂律性和广义Hurst指数，运用Hurst指数衡量时间序列结构的平稳和非平稳性，并使用多重分形奇异谱衡量时间序列波动的奇异性，能准确分析非平稳时间序列的长程相关性，并能够避免对时间序列相关性的误判。MF-DFA对非平稳时间序列的多重分形特性分析更具优越性。

1)构造新的时间序列。假设有一个时间序列xi(i=1,2,3,…,n)，现构造新的时间序列Xi：

(1)

2)分割时间序列。……