白政民，李耀辉

（许昌学院电气（机电）工程学院，河南 许昌 461000）

1 引言

序列Kriging 优化的EGO（Efficient Global Optimization）[1]、广义EGO[2]及相关算法[3-5]存在如下问题：（1）加点采样法则EI（Expected Improvement）的复杂性与多峰性将大幅增加优化时间消耗；（2）初始试验设计数据的欺骗性可能导致仅最优解附近数据点才具有更大EI 值，进行全局搜索前，初始最优解附近区域将作更细致搜索，从而使Kriging 模型产生较小方差估计；（3）在初始Kriging 模型具有精确最优解情况下，无法正常退出优化过程；（4）局部优化所获取的新采样点因距离太近而导致Kriging 相关矩阵的奇异性，将导致模型构造失败。因此，提出一种基于序列Kriging 和距离因子的全局优化方法UGOA-SKD（an global optimization method based on sequential Kriging and Distance factor），在序列优化过程中，对式（1）完成寻优，以获取更优采样点。

式中：f—昂贵连续的目标函数。

UGOA-SKD 利用Kriging 近似模型与距离因子的乘积构造加点采样法则，然后利用免于求导的DIRECT 算法优化该法则，以获取新的昂贵估值点。数值测试和工程仿真实例将验证所提出方法的有效性和实用性。

2 基于序列Kriging 和距离因子的全局优化方法

2.1 Kriging 模型

针对已知数据X=［x1，…，xm］T，xi∈Rn及其响应Y=［y1，…，ym］T，yi∈Rq，由回归函数和高斯过程组成的文献[6]模型的表达，如式（2）所示。

参数F和R分别是通过已知采样点所组成的回归矩阵和相关矩阵。式（2）中的高斯随机项z（x）是Kriging 插值模型的估计校正，即：

式中：r—未知采样点与已有采样点之间误差的相关性向量，如式

（5）所示。

R（θ，xi，xj）是高斯相关函数。为调节采样点间的相关性，可最小化公式（6）获得最优参数θ。

5 mg/ml待测样品溶液加入酶标板，加入底物，37 ℃孵育10 min，加入DPP-4酶液，37 ℃ 60 min，加入100 μl醋酸-醋酸钠缓冲溶液，终止反应，405 nm测吸光度。

2.2 基于Kriging 模型和距离因子的加点采样法则

在Kriging 序列优化搜索过程中，设计者不仅希望在接近当前最优采样点的附近区域寻优，更希望在找不到更优采样点的情况下探索一些未开发或更有前景的区域。因此，采用有效的加点采样法则确定下一个昂贵函数估值点。此外，在两个采样点距离非常接近的情况下，Kriging 相关矩阵R可能非正定，这或许导致Kriging 的构造或更新失败。为避免上述问题，依据已有采样点和当前Kriging 模型构造的加点采样法则，如式（7）所示。

其中，dmin=min（‖x-x1‖，…，‖x-xm‖）代表未知采样点x与已有样本数据点X=［x1，…，xm］T之间的最短距离；参数dmax=max｛d：x∈X｝是已有采样数据X=［x1，…，xm］T中任意两点间的最大距离。

2.3 算法实现

UGOA-SKD 流程，如图1 所示。参数设置如下。

（1）输入：（a）黑箱函数f（x），a≤x≤b，x∈Rn；（b）X=［x1，…，xm］T∈［a，b］为初始样本；（c）预设最大昂贵函数估值次数Nmax=2n（n为优化问题维度）；（d）基于高斯相关函数的Kriging 模型；（e）权重指数序列值｛e1…，0.001，0.01，0.1，1，10，…ek｝，并设e1=10-6。

（2）输出：算法获得最优解（xbest，ybest）。

UGOA-SKD 算法的详细步骤如下。

①初始试验设计：根据设计问题的要求初始化参数，通过正交最大最小拉丁超立方设计[8]获取2*（n+4）个初始自变量点xi（i=1，…，m）。然后，对每个xi，计算其昂贵函数估值f（xi），并初始化最优化解（xbest，ybest），同时，设置M：=m。

②建立Kriging 模型：利用初始试验数据或所有已知采样数据点构造或更新Kriging 模型。

③构造加点采样法则：依据式（7）和式（8）、Kriging 模型和距离因子建立加点采样法则，为迭代寻优做好准备。

④迭代寻优：利用DIRECT[9]优化③中的加点采样法则，获取下一个更优采样点xnext，如果xnext优于xbext，那么xbest：=xnext，ybest：=ynext。

⑤停止准则：判断算法停止准则是否满足要求，为便于比较及图形可视化，采用最大昂贵估值次数作为停止准则，如果不满足，对新增采样点进行昂贵估值。否则，停止优化，并返回最优解（xbest，ybest）。

图1 UGOA-SKD算法流程Fig.1 Algorithm Process of the UGOA-SKD

3 测试结果

3.1 数值测试及分析

利用二维测试函数Goldstein and Price（GP）和Schaffer、三维测试函数Hartman 3、六维测试函数Trid 6、八维测试函数Levy 8和十维测试函数Rosenbrock 10[10]进行数值验证，其最优解，如表1 所示。并设置二维、三维、六维、八维、十维测试函数的初始采样点数目及最大采样点数目分别是12、14、20、24、28 和50、60、120、180、180。

表1 测试函数的最优解Tab.1 Optimal Solution of Test Functions

对于2 维问题，采用OMLHD 采样方法取得十二个初始设计点，并构造初始Kriging 模型。序列优化采样过程中，当昂贵估值次数达到50 时，停止UGOA-SKD 算法。因此，需要38 次迭代循环。UGOA-SKD 算法的测试结果，如图2、图3 所示。其中，初始采样点、新增采样点和最优采样点分别用‘*’、‘●’和‘○’表示。可看出，所提出方法能在局部搜索无法获取更优解的情况下转向更有前景的区域进行迭代寻优，并找到接近全局最优点的近似最优解。

图2 GP 的所有采样点及梯度Fig.2 All Sampling Points and Gradient of GP

图3 Schaffer 的所有采样点及梯度Fig.3 All Sampling Points and Gradient of Schaffer

为进一步说明UGOA-SKD 算法的有效性，将六个测试函数与EGO 方法和TRIKE 方法[3]作比较。为消除随机误差的影响，对每一个测试问题做10 次不同的测试，并取其平均值。为避免初始试验设计给优化结果带来的影响，每次使用相同初始采样点，GP、Schaffer、Hartman 3、Trid 6、Levy 8 和Rosenbrock 10 的最终优化结果，如图4～图9 所示。其中，横坐标表示昂贵估值次数，纵坐标表示所获取的近似最优解。

图4 GP 函数优化结果比较Fig.4 Comparison on Optimization Result of GP

图5 Schaffer 函数的优化结果比较Fig.5 Comparison on Optimization Result of Schaffer

图6 Hartman 3 函数的优化结果比较Fig.6 Comparison on Optimization Result of Hartman 3

图7 Trid 6 函数的优化结果比较Fig.7 Comparison on Optimization Result of Trid 6

图8 Levy 8 函数的优化结果比较Fig.8 Comparison on Optimization Result of Levy 8

图9 Rosenbrock 10 函数的优化结果比较Fig.9 Comparison on Optimization Result of Rosenbrock 10

结果证明：UGOA-SKD 总能够找到一个接近真实最小值的近似最优解，并大多情况下优于EGO 方法，而UGOA-SKD 和TRIKE 具有相似的优化结果，且UGOA-SKD 略好于TRIKE。在优化的初始阶段，EGO 表现出较好的收敛性。然而，随迭代次数的增加，UGOA-SKD 和TRIKE 展现出良好优化效果，特别是GP、Trid 6 和Levy 8 函数的表现尤为明显。这主要是EGO 方法在某些情况下易陷入局部最优区域；此外，三个函数较强的非线性和复杂性更好说明了UGOA-SKD 算法的全局收敛性。

3.2 实例及分析

为反映工程应用性，利用UGOA-SKD 实现内啮合摆线齿轮泵容积的优化设计。内啮合摆线齿轮泵的齿廓曲线及啮合规律可参考文献[2]。其仿真优化问题可由式（9）描述。

式中：参数Q—泵出口平均流量；参数α1，α2和β1，β2—大端油腔和小端油腔的开启尺寸及关闭尺寸。滑油泵内部流场CFD模型是黑箱，首先通过Pro Engineer 软件建立泵的内部流场仿真；然后，将其转化为Standard Template Library 文件形式，并导入到PumplinxTM软件的前处理阶段。

最后，对仿真流场进行网格的划分，如图10 所示。将CFD模型的仿真时间设置为0.2s，那么，完成该仿真实际消耗时间为50min 左右。设置最大仿真次数为120，利用OMLHD 初始采样20 个昂贵估值点并构造初始Kriging 模型。那么，在初始采样并行估值情况下，总耗时近83.6h。

图10 摆线齿轮泵内部流场网格划分Fig.10 Flow Field Meshing of Cycloidal Gear Pump

初始采样后，获得的最大平均容积流量Q为2.3671 升/分钟，初始容积效率是73.51%。对比UGOA-SKD、EGO 和TRIKE的优化结果，如图11 所示。UGOA-SKD 能够找出更大的出口平均流量，且相应容积效率提高近1.28%。

图11 出口平均容积流量的优化结果Fig.11 Optimization of Average Volumetric Flow Rate of the Outlet

4 结论

基于序列Kriging 和距离因子的无约束全局优化方法在有效平衡全局和局部搜索行为的条件下通过少量昂贵估值快速收敛于全局近似最优解，具有一定应用价值。对进一步研究，通过Kriging 模型、多点加点采样法则及终止条件来处理基于Kriging的多点全局优化问题，从而实现多采样点的并行仿真优化，以大幅减少昂贵仿真所带来的较大时间成本。