景琪钦

(西华师范大学，四川 南充637009)

大约四十年前，霍金发现了一个令人吃惊的结果：从量子效应出发得出黑洞可以像黑体一样热辐射。根据霍金辐射理论，黑洞视界处存在量子涨落，会自发地产生正负粒子对。如果这一正负粒子对是在视界内产生的，正能量粒子会发射到无穷远处，负能量粒子会落入奇点，从而有效地降低黑洞的质量。如果这对正负粒子是在视界之外产生的，正能量粒子会辐射到无穷远处，负能量粒子会隧穿进入视界，因为负能量轨道只存在事件于视界之内。伴随着这两种情况的发生、热辐射的释放，黑洞会失去能量，收缩，最终完全蒸发掉。这个结果表明：伴随着辐射发生，黑洞会完全消失，导致黑洞的信息也会全部丢失。

但是对有质量粒子测地线的定义混合了相对论和非相对论的描述，是存在缺陷的。吴迪等人在参考文献[3]中以计算kerr黑洞为例，重新统一定义无质量粒子和有质量粒子的测地线方程，在Lagrange 作用量中运用变分原理求解出三个守恒的积分常数能量E、角动量L 和哈密顿量H，用这三个常数推导出粒子的运动方程，得到该粒子的测地线方程，进而得到隧穿几率。这一结果与使用拖曳坐标系计算出的隧穿几率相同，但是这一方法克服了以前测地线定义中的缺点，更适合于隧穿机制，使得结果能更有普遍的适用性。

为检验此方法是否适用于更多普遍的黑洞，本文将这种方法推广到Kerr-MOG 黑洞时空中，相对于Kerr 黑洞，Kerr-MOG黑洞是在标量张量引力理论修正后的黑洞形式。Brans 和Dike于1961 年构思了一种引力修正的理论，即在作用量里引入一个与曲率标量耦合的标量场，使得引力不仅与时空张量相关，也与该标量场相关，进而使引力场更强，这一理论的出现不仅有助于解释行星的运动轨迹，同时还为解释暗物质与暗能量提供了一种新方向。2015 年，Moffat 将这种该理论运用于Kerr 黑洞得到了一个修正的黑洞解，在此基础上，本文从对Kerr-MOG 黑洞的新形式入手，在第一节里利用Lagrange 作用量求解得到的守恒积分常数，从而推算出该黑洞的测地线方程，第二节里我们使用Parikh 和Wilczek 计算黑洞隧穿的算法来讨论得出Kerr-MOG黑洞的隧穿几率。

1 有质量粒子的测地线运动方程

这一小节我们将采用Lagrange 分析方法来推导非拖曳坐标系内的有质量粒子的测地线方程。在K-M 黑洞中无论粒子是否有质量都存在三个恒定的第一积分常数，由这三个常数所决定出的的运动方程能统一、自恰地推导出测地线方程。

首先我们由参考文献[2]得到Kerr-MOG 的黑洞解：

2 有质量粒子的隧穿几率

3 结论

本文首先运用变分原理下的拉格朗日分析来重新定义了有质量粒子的测地线方程，基于测地线的新定义，我们从Kerr-MOG 黑洞的度规出发，重新讨论了有质量粒子的Hawking隧穿几率。值得注意的是，我们对有质量粒子测地方程的新定义克服了之前文献中的一些缺点，更适合于Hawking 辐射隧穿计算。我们把参数k 设为4 速归一化条件，由此可以统一定义有质量粒子和无质量粒子的测地线方程。另一方面，有质量粒子的测地线方程的定义与变分原理是一致的，使得结果更加具有说服力。另外，由于我们基于拉格朗日分析推导的测地线方程具有普适性，可以广泛地用于黑洞隧穿辐射几率计算，因此这一重定义测地线方程的方法可以推广到其他类型的黑洞，并且本文的这一工作是对Parikh-Wilczek 隧穿计算方法的一个新的重要补充和发展。