王宇辰

(兰州财经大学统计学院,甘肃兰州 730020)

0 引言

随着大规模海量数据的不断产生,图像、音频等非结构化数据通常表示为取值非负的高维数据矩阵。处理高维数据矩阵时,通过对矩阵进行分解可完成数据压缩与聚类等任务。非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,NMF)是一种简洁直观、效果优良的矩阵分解技术[1],其核心思想是在一定约束条件下将原始数据分解为低维的基矩阵和系数矩阵,并在低维矩阵中能够更好地体现出数据本身所隐含的性质,对数据挖掘具有重要的意义。非负矩阵分解是高维数据聚类的新方法,在机器学习、生物信息[2]等领域具有广泛的应用。

本文旨在对非负矩阵分解方法的基本原理和发展现状进行综述。本文所用符号的具体说明见下表1。

1 非负矩阵分解的基本原理

矩阵分解方法是应用数学领域的研究重点,其目的在于对原始矩阵在一定约束条件下进行分解,从而简化矩阵运算效率并取得良好的解读性。在工程计算领域中,矩阵的QR分解、Cholesky分解在求解线性方程等问题上效果良好;在机器学习领域中,矩阵的奇异值分解可完成对数据的特征提取与压缩,并广泛应用于图像处理、推荐系统等实际问题。

1999年,Lee[3]在《Nature》上发表了关于非负矩阵分解的相关研究,非负矩阵分解算法的基本思想是:在对矩阵元素的非负约束条件下,将原有的数据矩阵X分解为基矩阵U和系数矩阵V,基矩阵U的每一列代表一个局部特征,系数矩阵V的每一列代表一个样本在低维空间中的表示。……