杨正玺，常洪振

(1.北京机电工程研究所，北京100074；2.北京强度环境研究所，北京100076)

0 引言

结构动力学方程包括结构的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。其中,质量矩阵储存着结构各部分的动能,刚度矩阵存储着结构各部分的势能,阻尼矩阵则代表能量在结构的各部分之间的转移(例如机械能转化为内能),结构的总能量通过这三个矩阵进行相互转换,由此形成结构持续的运动(振动),结构共振时的形态,称之为模态。

结构动力学中的模态对应实际物理意义上的振动形态,在数学意义上则对应非齐次微分方程的特征值问题。结构动力学模型对应的方程在物理坐标系下,质量矩阵和刚度矩阵均是非对角的对称正定矩阵,若直接求解方程难度较大。通常的做法是,借助模态向量基的正交性将结构实际的非对角质量矩阵和刚度矩阵转换为对角矩阵,这样就可以将结构在物理坐标系下的多自由度系统解耦为n个单自由度组成的系统,由此方程求解可大为简化。上述解耦过程得到的模态坐标系下的对角质量矩阵和刚度矩阵就称为模态质量阵、模态刚度阵,每个对角元素称为结构该阶模态质量、模态刚度。

模态质量和模态刚度是为了数学计算的方便在模态坐标系下的定义,不再具有实际的物理意义和量纲。不过由于其也是对实际结构的一种描述,在模态坐标系下得到的这些参数也可通过广义反变换的方式转化为实际物理系下的力学参量[1],即具有实际物理意义。……