张丹蕾

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006)

0 引言

本文主要研究以下方程

-Δpu(x)=|x|αf(u(x))x∈RN

(1)

其中Δpu(x)=div(|▽u|p-2▽u),f∈C1[a1,a2],-∞≤a12时|▽u|p-2具有退化性质,因此必须在弱意义下理解该方程的解。Dibenedetto等证明了方程(1)解的最佳正则性是C1,γ(γ∈(0,1))的[1-3]。文中将在这样的弱意义下研究方程(1)的解。

成立,则称u为方程(1)的弱解。

定义2 设u为方程(1)的弱解，若对任意

成立,则称方程(1)的弱解u为稳定的。

若u为方程(1)的稳定弱解,由(▽u▽φ)2≤|▽u|2|▽φ|2有

本文主要研究幂权重|x|α对p-Laplace方程径向解稳定性的影响。目标是在p≥2,α+p>0且允许存在单侧有界解u的情况下,寻找临界维数N#,使方程(1)的任意非常数径向解在p≤N≤N#时均为不稳定的。

为了避免符号混乱,用u(r)代替u(x),其中r=|x|,x∈RN。用ur表示径向函数u的径向导数。

1 记号与引理

若u为定义在G上的函数,记

χ(0,S)={1,x∈(0,S)

0,x∉(0,S)

关于方程(1)的径向解有一个有趣的事实,即通过变量的适当变换,含有幂权重|x|α的方程(1)可以在新的分数维中转化为具有常数权重的p-Laplace方程。为此,参考p=2时Cowan-Goussonb给出的具体方法[8],并将它推广应用到RN中。

直接计算,有

又由Δp,Nu(r)=-rαf(u(r)),有

(2)

且vs在[a,b]中不改变符号。

证明由v(s)为

的稳定径向弱解,我们有vs(0)=0,且对任意

(3)

(4)

由经典椭圆正则性理论[9]知vs∈C2[a,b],0

(5)

用sN*-1ψs,ψ∈C1[a,b]乘以(5)式且在(a,b)上分部积分

+(sN*-1|vs|p-2vs)s]ψds

因此,

下证vs在[a,b]中不改变符号。

给定s0>0使vs(s0)≠0，由vs的连续性可令(a0,b0)为[0,+∞)中vs≠0的最大区间,其中0≤a0

反证,假设b0<+∞，对很小的ε>0,在(a0+ε,b0-ε)上应用(2)式,且令ψ=vs有

(6)

由(5)式与洛必达法则得，a0=0时,有

a0>0时,有

综上可得

(7)

因此,有

sN*-3|vs|p∈L1(a0,b0)

(8)

在(6)式中令ε→0,由vs(a0)=vs(b0)=0,得

(9)

由(8)式,有

(10)

给定ε>0,令0≤φ≤1在R中满足

由φ定义我们有

由(7)式与推广的积分第一中值定理,存在η∈(a0+ε,a0+2ε)有

(11)

由Holder不等式、(10)式和(11)式,有

由(9)式与上述不等式,有

矛盾。所以vs在[a,b]中不改变符号。

2 主要……

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