张丹蕾

(广西师范大学 数学与统计学院，广西 桂林 541006)

0 引言

本文主要研究以下方程

-Δpu(x)=|x|αf(u(x))x∈RN

(1)

其中Δpu(x)=div(|▽u|p-2▽u),f∈C1[a1,a2],-∞≤a12时|▽u|p-2具有退化性质,因此必须在弱意义下理解该方程的解。Dibenedetto等证明了方程(1)解的最佳正则性是C1,γ(γ∈(0,1))的[1-3]。文中将在这样的弱意义下研究方程(1)的解。

成立,则称u为方程(1)的弱解。

定义2 设u为方程(1)的弱解，若对任意

成立,则称方程(1)的弱解u为稳定的。

若u为方程(1)的稳定弱解,由(▽u▽φ)2≤|▽u|2|▽φ|2有

本文主要研究幂权重|x|α对p-Laplace方程径向解稳定性的影响。目标是在p≥2,α+p>0且允许存在单侧有界解u的情况下,寻找临界维数N#,使方程(1)的任意非常数径向解在p≤N≤N#时均为不稳定的。

为了避免符号混乱,用u(r)代替u(x),其中r=|x|,x∈RN。用ur表示径向函数u的径向导数。

1 记号与引理

若u为定义在G上的函数,记

χ(0,S)={1,x∈(0,S)

0,x∉(0,S)

关于方程(1)的径向解有一个有趣的事实,即通过变量的适当变换,含有幂权重|x|α的方程(1)可以在新的分数维中转化为具有常数权重的p-Laplace方程。为此,参考p=2时Cowan-Goussonb给出的具体方法[8],并将它推广应用到RN中。

直接计算,有

又由Δp,Nu(r)=-rαf(u(r)),有

(2)

且vs在[a,b]中不改变符号。

证明由v(s)为

的稳定径向弱解,我们有vs(0)=0,且对任意

(3)

(4)

由经典椭圆正则性理论[9]知vs∈C2[a,b],0

(5)

用sN*-1ψs,ψ∈C1[a,b]乘以(5)式且在(a,b)上分部积分

+(sN*-1|vs|p-2vs)s]ψds

因此,

下证vs在[a,b]中不改变符号。

给定s0>0使vs(s0)≠0，由vs的连续性可令(a0,b0)为[0,+∞)中vs≠0的最大区间,其中0≤a0

反证,假设b0<+∞，对很小的ε>0,在(a0+ε,b0-ε)上应用(2)式,且令ψ=vs有

(6)

由(5)式与洛必达法则得，a0=0时,有

a0>0时,有

综上可得

(7)

因此,有

sN*-3|vs|p∈L1(a0,b0)

(8)

在(6)式中令ε→0,由vs(a0)=vs(b0)=0,得

(9)

由(8)式,有

(10)

给定ε>0,令0≤φ≤1在R中满足

由φ定义我们有

由(7)式与推广的积分第一中值定理,存在η∈(a0+ε,a0+2ε)有

(11)

由Holder不等式、(10)式和(11)式,有

由(9)式与上述不等式,有

矛盾。所以vs在[a,b]中不改变符号。

2 主要结果

证明由上述引理,若v(s)为

的稳定径向弱解,不妨设(0,∞)中有vs<0。由经典椭圆正则性理论,可以找到v∈C3(0,∞)为(5)式在(0,∞)中的解。由(8)式得

(12)

令ε→0+,有

(13)

由(12)式,有

令(4)式中φ=ξvs,由(13)式有

≥0

(14)

现在,对β>0选择

ξ={1,s<1,

s-β,s≥1

将(ξ-S-β)χ(0,S)应用于(14)式且令S→∞,有

假若有

(15)

E(s)

由f∈L1(a1,a2)有E∈C1(0,∞)。直接对E(s)微分且由(5)式,有

E′(s)

即有

由f∈L1(a1,a2)有

证明若v(s)为

由E′(s)<0知,当s>0时,E(s)≤E(0)。因此,由上式知,对任意的s>0有0≤E(s)≤E(0),即E为有界的。由假设f∈L1(a1,a2)知F(v(s))也为有界的。由E(s)定义有vs∈L∞(0,∞)，那么,有

证明若v(s)为

不失一般性,假设在(0,∞)中有v∞=0,v>0,vs<0。由v∈C3(0,∞)可直接对(5)式微分,有

即有

(16)

由(5)式与洛必达法则,有

当f(0)>0时,对某些δ>0,s→+∞时有|vs|p-1≥δs→+∞;当f(0)<0时,对某些δ>0,s→+∞时有|vs|p-1≤-δs→-∞。因此,有f(0)=0。下证f′(0)≤0。

若f′(0)>0,那么对很大的s与某些ε>0,有f′(v(s))≥ε>0。对满足

的截断函数φ,由

得

由vs∈L∞(0,∞),对很大的R有εRN*≤CRN*-2,与R很大矛盾。所以f′(0)≤0。

由假设我们有

(17)

由(16)式,对很大的s有(sN*-1|vs|p-2vss)′≤0。因此,对很大的s有sN*-1|vs|p-2vss非增,即对很大的s有|vs|p-2vss≤Cs1-N*。

N*>2时,上述不等式在(s,∞)上积分,有

即对任意很大的s有

(18)

N*=2时,由vs∈L∞(0,∞),(18)式显然成立。

b>0时，由f(0)=0,f′(0)≤0,有q>0。因此,由(17)式,对某些δ>0和任意小的t>0有f(t)≥δtq+1。由(5)式,对很大的s有

上述不等式在(t,z)上积分,其中t很大且t

-zN*-1|vs(z)|p-2vs(z)

-tN*-1|vs(t)|p-2vs(t)

(19)

由假设vs<0知,当svq+1(z),可得

代入(19)式,有

-|vs(z)|p-2vs(z)v-(q+1)(z)

即对2t0有

(20)

下证q≥p-2。反证,若q

其中C>0,D>0为常数,即对很大的s有

vq+2-p(s)≤Cs-p

(21)

由(17)式知,对任意的t∈[0,v(0)]有f(t)≤C′tq+1。因此,由(5)式与(21)式可得,对任意的s>0与某些C>0有

-(sN*-1|vs|p-2vs)′≤C′sN*-1vq+1

≤{C, 0≤s<1

CsN*-1-pvp-1,s≥1

N*=p时,由vs<0有

=vp-1(0)lnz

N*>p时,由vs<0有

综上所述,z>1时有

zN*-1|vs(z)|p-1

C+Cvp-1(0)lnz,N*=p

因此,对足够大的s有

|vs(s)|≤{s-1,N*>p

(22)

由(18)式与(21)式我们讨论两种情况:

p≤N*

当N*≥p+1时，由s≥1时有|vs(s)|≤Cs-1成立,与vs∈L∞(0,∞)有