罗 琴，王 艳

（重庆师范大学数学科学学院，重庆 401331）

0 引言

准确分割图像是图像处理的一项重要的任务。到目前为止，图像分割的一个主要挑战是对含噪声、灰度不均的复杂图像进行分割。

几何活动轮廓模型可分两大类：基于边缘的模型［1-2］和基于区域的模型［3-10］。前者通常利用图像的梯度信息来吸引活动轮廓接近图像目标边界，进而提取出来；后者是利用演化轮廓内外的区域信息来控制轮廓的运动。其中，分片常值（Piecewise Constant，PC）模型（常被称为C-V 模型）［11］和区域可变灰度拟合（Region-Scalable Fitting，RSF）模型［12］是最具代表性的。在实际应用中，这两类模型各有优点和不足的地方。

将目标和背景的灰度假设为常值的C-V 模型是基于区域的全局活动轮廓模型，由于对全局均值的过度依赖，当分割灰度不均图像时，这种假设会导致模型在分割灰度不均图像时出现演化曲线的错误分割。近些年，很多研究者从不同方向对C-V 模型进行拓展或改进［13-14］，例如，Zhang 等［15］提出一个选择性局部或全局分割（Selective Local or Global Segmentation，SLGS）模型，在C-V 模型的基础上大幅提高了分割速度；但由于依赖图像的全局信息，故对灰度不均图像的分割效果不理想；Li 等［12］提出的基于图像局部区域的可变灰度拟合的RSF 模型，克服了C-V 模型在灰度不均图像分割中的不足，但从分割结果中可以看出，过度依赖图像的局部信息使得它对初始化轮廓和噪声较敏感。为了有效地解决RSF模型对初始轮廓敏感的问题，刘瑞娟等［16］提出融合局部图像信息的SLGS（SLGS with Local Information，SLGSLI）模型和张栩源等［17］提出了自适应灰度拟合（Adaptive Intensity Fitting，AIF）模型，虽然在一定程度上降低了RSF 模型对初始轮廓的敏感性，但由于仍需要初始轮廓，所以并未从根本上解决初始轮廓敏感问题。陈星等［18］提出了结合全局信息的局部图像灰度 拟 合（Local Intensity Fitting Combined with Global Information，LIFCGI）模型，虽然在无初始轮廓的情形下能够分割一些真实图像和人造图像，但无法分割灰度不均图像。

为了更好地解决轮廓初始化问题，本文在SLGS模型的启发下，从偏微分方程的角度提出了一个新的区域活动轮廓模型。模型在演化过程无需设定初始轮廓，因此有效地避免了轮廓初始化给分割过程带来的诸多问题。将局部和全局信息线性组合获得模型最终的拟合项，通过调整权重参数，使得本文模型有效地分割噪声图像和灰度不均图像。

1 预备知识

1.1 C-V模型

假设I(x)是待分割图像，φ(x)是水平集函数。C-V 模型通过极小化下面的能量泛函来实现分割：

其中：Ω是图像区域；c1和c2分别为图像区域在演化曲线内部和外部的灰度平均值；δ(φ(x))和H(φ(x))分别是Dirac 函数和Heaviside 函数。式（1）中前两项分别拟合演化曲线内外的全局图像，最后一项为长度项，控制演化曲线的长度。

由变分法和最速下降法，导出控制水平集函数演化的偏微分方程：

C-V 模型假设图像的目标和背景的灰度均值区别较大，故在灰度不均性较弱的图像中能取得较好的分割效果。

1.2 SLGS模型

式（2）中水平集函数演化的主要作用力为：

其中：α是大于零的常数。SLGS模型收敛迅速、耗时短和全局最优的特点，但对于噪声比较敏感，不能有效分割灰度不均图像。

1.3 RSF模型

RSF 模型基于可变区域灰度拟合能量拟合局部图像，具体讲，它通过极小化以下能量泛函来实现分割：

其中：M1(φ)=H(φ)；M2(φ)=1-H(φ)；Kσ(x-y)是高斯核函数；ν为长度项系数；f1(x)和f2(x)是点x小邻域内演化曲线内、外的加权灰度均值，是一种与尺度参数σ有关的局部量；最后一项是无需重新初始化项。RSF 模型是通过统计以每个像素点为中心的局部区域信息来进行灰度拟合，故该模型能够较好地处理灰度不均图像。然而，过度依赖局部信息也导致该模型对噪声和初始化轮廓比较敏感，不同的初始轮廓可能会导致模型的解为局部极小值而非全局最优，甚至是不收敛的解。

2 本文模型

2.1 模型描述

正如前文所述，每个模型都有各自的优缺点。C-V 模型是基于全局信息的活动轮廓模型，对初始轮廓和噪声不敏感，然而对全局均值的过度依赖使得该模型不能分割灰度不均图像，而且模型的计算量较大；SLGS模型提高了分割效率，但无法分割灰度不均性较严重的图像和高强度的噪声图像；RSF模型基于图像局部区域的可变灰度来拟合图像，能有效地分割灰度不均图像，由于对局部信息的过度依赖，使得它对噪声和初始轮廓较敏感。本文提出了一个新的基于区域的活动轮廓模型来分割灰度不均图像和噪声图像。该模型线性加权F1(φ，x)+F2(φ，x)，以此作为分割的拟合项，通过适当选择控制权系数ω，该模型可以有效分割灰度不均图像和噪声图像。同时，由于本文模型可以在无初始轮廓下进行分割，故可以完全避免轮廓初始化对模型分割过程的不利影响。本文模型水平集演化的偏微分方程定义为：

其中：参数ω为全局驱动力和局部驱动力的权重系数，其作用是控制全局力和局部力在模型中所起的作用。

参数ω的取值依赖于图像的特征，特别地：对于灰度不均图像，为了增大局部力，参数ω选取较小的值，如ω=0.2；对噪声图像，为了突出全局项的作用，参数ω选取较大的值，如ω=21。此外，在无初始轮廓的情况下，本文模型的水平集函数可以简单初始化为常值函数，使得本文模型的分割效率大大提升。

2.2 数值实现

为了计算未知函数φ的相关欧拉-拉格朗日方程，函数H和δ用一个正则化的函数Hε和δε来近似，分别定义为：

本文采用有限差分法求解微分方程（7），利用中心差分法近似计算空间域的偏导数，向前差分法近似计算时间域的偏导数。离散网格的空间步长为h，时间步长为Δt。水平集函数φ在点x处n时刻的值可表示为式（7）的离散形式为：

本文模型的算法实现步骤：

1）初始化φ(x，y，t= 0)= 0。

4）检验演化曲线C在相邻两次迭代时的长度改变量|L(C(n))-L(C(n- 1))|不超过一个给定的阈值ξ，或者迭代次数不小于预先给定的常值N，则停止迭代；如果不稳定收敛，则重复2）～3）。

3 实验与结果分析

本文对灰度不均图像与噪声图像进行分割实验，并对比其他模型的结果，从以下几个方面验证本文模型的有效性：

1）不受初始轮廓的影响；2）对灰度和噪声的鲁棒性；3）比较分割效率。从表1、表3 和表4 中，采用数值的平均值，可以看出本文模型比RSF 和SLGS 模型的迭代步数分别减少了约57%和31%，分割时间分别减少了约62%和14%。

数值实现采用有限差分法，实验环境如下：Matlab R2016a，Intel Corel I5-5200U 处理器，4 GB 内存和Windows 8操作系统。

本文模型选取如下参数值：时间步长Δt= 0.1，ε= 1，σ=3，参数μ∈[0，2]、ω∈[0，21]是两个可调参数。当待分割图像的背景较为复杂时，μ和ω取较大的值；反之μ和ω取较小的值。若无特殊说明，实验设置为μ= 0.1，ω= 0.2。

3.1 对初始轮廓的鲁棒性

图1 用一幅含自然噪声图像来验证本文模型对初始轮廓的鲁棒性。本文模型的实验中μ= 2，ω= 21。从图1 可以看出，本文模型对初始轮廓具有较强的鲁棒性。

图1 本文模型在四种不同初始轮廓下对噪声图像的分割结果Fig.1 Segmentation results of proposed model on a noise image with four different initial contours

3.2 灰度不均图像的分割

图2 中，实验样本为五幅不同程度的灰度不均图像，展示了在不同初始轮廓的情况下的分割效果。选取的模型有：RSF 模型、SLGS 模型和本文模型。从图2（b）的框出部分可以看出，RSF 模型对轮廓初始化较为敏感。从图2（c）的框出部分可以看出，由于SLGS 模型只考虑了图像的全局信息，难以处理图像的灰度不均现象。表1 给出了迭代步数和分割时间。从图2和表1可以看出，本文模型在无初始轮廓的情况下能够兼顾分割准确性与分割速度，有效提取灰度不均图像中的目标。

图2 三个模型对灰度不均图像的分割结果Fig.2 Segmentation results of inhomogeneous images by three models

表1 三个模型分割图2中图像的迭代次数和分割时间Tab.1 Number of iterations and segmentation time of three models for segmenting images in Fig.2

3.3 噪声图像的分割

通过实验验证本文所提模型对不同噪声强度、不同噪声种类的鲁棒性。对噪声图像，参数σ∈[1，5]是一个可调参数，其值根据噪声污染的强度来选取。当噪声污染较轻时，σ选取较小的值，例如σ= 1；当噪声污染较强时，σ选取较大的值，例如σ= 5。

图3选取了零均值，方差分别为0.01、0.20的两幅高斯噪声图像。参数取值σ= 1，3，5，7。从图3 和表2 可以看出，在得到较好的分割结果前提下，方差为0.01 的高斯噪声图像中取σ= 1时迭代时间更少；在方差为0.20的高斯噪声图像中，取σ= 5时分割效果更好、分割时间更少。

图3 本文模型在四种不同σ和两种方差情况下的分割结果Fig.3 Segmentation results of proposed model with four different σ and two different variance

表2 本文模型分割图3中图像的迭代次数和分割时间Tab.2 Number of iterations and segmentation time of proposed model for segmenting images in Fig.3

图4 展示了实验模型分割不同程度的高斯噪声图像的分割结果。为了验证本文模型的抗噪性，实验选取了零均值，方差分别为0.01、0.05、0.10 和0.20 的四幅高斯噪声图像。根据噪声污染情况本文模型不同的参数。从图4 所示的实验结果可以看出：RSF模型对噪声较为敏感，如图4（b）的框出部分所示；SLGS 模型对于噪声污染不严重的图像，能够得到较好的分割结果，但随着噪声污染的加重，该模型仍无法准确分割；本文模型对噪声强度具有足够的鲁棒性，均能有效地提取目标边界。

图4 三个模型对不同程度的高斯噪声图像的分割结果Fig.4 Segmentation results of different degree Gaussian noisy images by three models

表3 三个模型分割图4中图像的迭代次数和分割时间Tab.3 Number of iterations and segmentation time of three models for segmenting images in Fig.4

为比较不同模型对噪声种类的鲁棒性，本文将三个模型应用于含有不同程度乘性斑点噪声的图像，实验结果如图5所示。图5（a）的图像2 的乘性斑点噪声较大，因此实验中本文模型选取参数σ=5，其余图像选取参数σ=3。从图5 可以看出，RSF 模型对乘性噪声较为敏感；SLGS 模型对于方差为0.10的乘性斑点噪声分割效果较好，而对于方差为0.60的乘性斑点噪声分割效果不理想；本文模型对这两幅含不同程度乘性斑点噪声的图像得到了准确、一致的分割效果。

图5 三个模型对不同程度的乘性斑点噪声图像的分割结果Fig.5 Segmentation results of different degree multiplicative speckle noisy images by three models

表4 不同模型分割图5中图像的迭代次数和分割时间Tab.4 Number of iterations and segmentation time of three models for segmenting images in Fig.5

3.4 定量化分析

图6 选取了四幅皮肤损伤图像对所提模型进行定量化评价。实验图像均来自https：//isic-archive.com/api/vl，包含原始图像和对应的GT（Ground Truth）图像。

评价指标分别为Dice 相似系数（Dice Similarity Coefficient，DSC）、错误率（Ratio of Segmentation Error，RSE）、假阳性率（False Positive Ratio，FPR）和虚警率（False Alarm，FA）。DSC 越接近于1，RSE、FPR 和FA 越接近于0，表明分割结果越准确。表5 给出了三个模型对这四幅图像分割结果的平均指标值。从表5 可以看出，本文模型取得了较为准确的分割结果。

图6 三个模型对不同皮肤损伤图像的分割结果Fig.6 Segmentation results of different skin lesion images by three models

表5 图6图像分割结果的DSC、RSE、FPR和FA值Tab.5 DSC，RSE，FPR and FA of segmentation results shown in Fig.6

3.5 实际应用

图7 给出了本文模型对四幅实际应用中不同类型图像的分割结果。其中：图7（a）的框出部分是医学图像，目标边缘较弱；其余两幅图像是红外船舶图像，红外船舶图像1 中目标船舶边缘较弱，红外船舶图像2 中背景不均匀，而且带有设备引起的噪声。本实验中，对图7（a）图像4 选取σ=5，其余图像选取σ=3。本文模型的实验结果如图7（b）所示，可以看出，本文模型在无初始轮廓的情况下，对不同类型的实际图像均取得了准确的分割效果。

图7 本文模型对不同类型图像的分割结果Fig.7 Segmentation results by proposed model of different types of images

4 结语

本文受到SLGS模型的启发，提出了一个偏微分方程形式的图像分割模型。该模型在无初始轮廓的情况下，能够对灰度不均图像和噪声图像取得理想的分割结果；同时，还能有效提取目标的模糊边缘和弱边缘。但是本文模型选取的权重系数ω 为特定值。因此，如何更好地提高模型的自适应性和迭代速度，增加模型的应用场景是接下来的工作。