汪 勇，胡良剑

(东华大学 理学院，上海 201620)

0 引 言

截断Euler-Maruyama(EM)方法是MAO在提出的一种新的显式方法[1]，用于研究高度非线性随机微分方程数值解，并证明了该数值方法的Lp收敛性。之后，文献[2]从步长的角度出发，改进了部分严格的限制性条件，并确保截断EM方法的收敛性和稳定性仍然成立。文献[3]针对有限时间强收敛性的假设条件进行了分解，文献[4]从稳定性的角度出发，研究了部分截断EM方法。之后，部分假设条件的限制被放松[5]，文献[6]对假设条件做了进一步优化。随后，出现了更多关于随机微分方程数值解的相关研究[7-10]，并且出现带时滞的随机微分方程数值解相关理论研究[11]。

本文考虑一个标量随机微分方程

dx(t)=b(x(t))dt+σ(x(t))dW(t),t≥0

(1)

式中:b和σ为局部Lipschitz连续函数；W(t)为一维布朗运动；初值x(0)=x0>0。在许多包含数量问题的实践中，比如对股票市场的研究以及生物种群模型的研究时，需要模型的解取正值。因此，当随机微分方程(1)有一个正解，如何构造它的数值近似，以保证数值解也为正是主要研究问题。

对于数值解保正性的研究已经有了一些已知的结论[12-14]。文献[15]证明了EM方法不能使任何一维随机微分方程数值解保持正性。文献[16]使用Lamperti变换，对扩散系数严格为正的原始随机微分方程进行了变换，变为

dx(t)=F(x(t))dt+c0dW(t)

并采用隐式欧拉法对变换后的随机微分方程进行离散化，使得在适当的假设条件下，随机微分方程的数值解收敛到真实解。文献[17]提出了一类在适当步长和权值下保正性的平衡隐式方法，收敛条件需满足线性增长条件。