吕 杰, 韦煜明, 彭华勤

(广西师范大学 数学与统计学院,广西 桂林 541006)

众所周知,全球每天都有数万人因疾病而失去生命,死亡率高的疾病会影响人的平均寿命,同时也会削弱国家的经济实力. 为了有效预防和控制,越来越多的数学家提出用数学模型来研究传染病的动力学行为,并在生物学中得到了广泛应用[1—3]. 在疾病发生时,为了减少受感染人数,政府或组织通常会采取隔离措施. 此时所用生物数学模型称为SIQS流行病模型[4]：

其中:S表示易感人群数量;I表示受感染但未被隔离人群数量;Q表示受感染后被隔离人群数量;Λ为新进人口数量;μ表示自然死亡率;γ,ε分别表示受感染个体和被隔离个体的恢复率;α表示因病死亡率;β表示接触率;δ表示已受感染个体的隔离率.

其中:I1,I2表示被A病毒和B病毒感染的数量;β1,β2分别为2种疾病的接触率;α1,α2分别为2种疾病的因病死亡率;γ1,γ2分别为2种疾病的恢复率;ai,bi(i=1,2)为抑制效果参数.

基于以上模型分析,本文提出新的具有Beddington-DeAngelis发生率的双流行病SIQS模型

(1)

本文将讨论随机扰动强度对模型(2)的影响,确定随机系统的两种疾病灭绝和持久的阈值.

1 全局正解的存在性和唯一性

P{τ∞≤T}>ε.

因此,存在一个正整数k1>k0, 使得

P{τ∞≤T}≥ε,∀k≥k1.

V(S,I1,I2,Q)=

(S-1-lnS)+(I1-1-lnI1)+

(I2-1-lnI2)+(Q-1-lnQ).

显然,函数V非负,对∀k>k0,T>0, 对V函数应用It公式,可得

dV(S,I1,I2,Q)=LV(S,I1,I2,Q)dt+

LV(S,I1,I2,Q)=

δ1I1+δ2I2+(μ+α3+ε)-(μ+α3+ε)Q≤

其中K为正整数,则有

(3)

对(3)式两边同时从0到τk∧T=min{τk,T}积分,并求期望

即

E(V(S(τk∧T)),I1(τk∧T),

I2(τk∧T),Q(τk∧T)))≤

E(V(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))+KE(τk∧T)≤

E(V(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))+KT.

(4)

V(S(τk∧T)),I1(τk∧T),I2(τk∧T),

Q(τk∧T))≥

由(4)式可得

V(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))+KT≥

E(IΩk(ω)V(S(τk∧T),I1(τk∧T),

I2(τk∧T),Q(τk∧T)))≥

其中IΩk(ω)是示性函数,当k→∞时,

∞>V(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))+KT=∞,

矛盾,故有τ∞=∞, 得证,即存在全局唯一正解.

2 疾病的灭绝性

则系统(2)的两种流行病都将灭绝.a.s.

证明对系统(2)应用It公式可得

(5)

两边同时求积分并除以t可得

(6)

定义

证明由模型(2)易得d(S+I1+I2+Q)≤(Λ-μ(S+I1+I2+Q))dt,则有

(7)

对(7)式取极限得

即2种疾病都将会消亡.

由于2种疾病将会消亡,设0

当ε1→0,ε2→0时,

(8)

又因为

(9)

由(8)式和(9)式可得

由定理2和定理3可知,相对大的噪音强度会使疾病消亡,在一定条件下相对小的白噪音强度也会使疾病消亡.

3 疾病在时间均值意义下的持久性

本节主要讨论系统(2)的两种流行病的持久性,主要包括2种情况:①一种流行病消亡的同时,另一种流行病持久;②两种流行病都持久.

对系统(2)等号两边同时从0到t积分并除以t可得

(μ+α3+ε)Q(s))d(s)=

Λ-μ〈S(t)〉-C1〈I1(t)〉-C2〈I2(t)〉≥

Λ-μ〈S(t)〉-C1〈I1(t)〉-C2ε2,

(10)

由(10)式可得

(μ+α1+γ1+δ1)I1(t)dt+

σ1S(t)dB1(t).

(11)

对(11)式两边同时从0到t积分并除以t可得

(12)

由(12)式可得

当I1(t)≥1时,

(13)

当0

(14)

当ε2→0时,对(13)～(14)式取极限可得

(ⅱ)的证明方法与(ⅰ)相似,证明略.

(ⅲ) 由(10)式可得

定义C2-函数V:

dV(t)=

(15)

对(15)式两边从0到t积分并除以t可得

Δmax(〈I1(t)〉+〈I2(t)〉)-

(16)

其中

由(16)式可得

(〈I1(t)〉+〈I2(t)〉)≥

(17)

对(17)式取极限可得

4 数值模拟

用Milstein方法[14]来验证所得结论,并总结本文的重要结论. 首先将模型(2)离散化：

Q(k+1)=Q(k)+(δ1I1(k)+δ2I2(k)-

(μ+α3+ε)Q(k))Δt,

其中ξ(k),k=1,2,3,…,n是服从N(0,1)分布的独立的随机变量.

首先当系统(2)中σ1=0,σ2=0时为SIQS确定性模型,即不受环境干扰取参数Λ=1,μ=0.1,β1=0.5,β2=0.7,γ1=0.1,γ2=0.1,δ1=0.1,δ2=0.2,α1=0.1,α2=0.2,α3=0.2,a1=1,a2=1,ε=0.1,b1=2,b2=1,确定性模型随时间t变化的趋势见图1.

图1 确定性系统(S,I1,I2,Q)的轨迹图

4.1 疾病的灭绝性

由图2可知,两种疾病灭绝时,均有

图2 随机系统(S,I1,I2,Q)两种疾病均灭绝的轨迹图

4.2 疾病在均值意义下的持久性

由定理4可知:

图3 随机系统(S,I1,I2,Q)单一疾病灭绝的轨迹图

由图4可知,两种疾病在此状态下持久.

5 结论