高爱国

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引言

ΣΔ调制的过采样技术和噪声整形技术能够将量化噪声从低频推到高频，大量的高频能量分布在一个很宽的频带范围内，可以在信号基带内获得较高的输出信噪比，高频段能量可以通过一个低通滤波器来滤除，目前ΣΔ调制技术广泛应用于数字音频、数字电话、频率合成等许多领域［1，2］。

1 ΣΔ调制器的原理

1.1 过采样技术

所谓过采样技术就是以远远高于奈奎斯特采样频率的频率对模拟信号进行采样［3］。由信号采样量化理论可知，在不发生过载现象、输入信号的幅度是随机分布的条件下，并且假定量化噪声e 是一个平稳的、概率分布是均匀的随机序列，量化噪声本身的任意两个值之间不相关，且与输入信号无关，则量化噪声的总功率可以用一个常数来表示［4］。

对于均匀量化，Δ=2E/N，其中E 是信号幅度，N 是量化级数，且N=2n，n 是量化器的位数。代入式（1）可得：

式（2）表明，对于均匀量化，量化噪声的总功率与量化级Δ的平方成正比，与量化级数N 的平方成反比，当量化位数n 增加一位，量化级Δ减小1/2，量化噪声功率降低6dB。

量化噪声的总功率在0～fs/2的频带范围内均匀分布，其功率谱密度E2（f）为：

设输入信号基带为0～fB，则在信号基带内的量化噪声PNoise为：

式（4） 中OSR=fs/（2fB），称为过采样率。式（4）表明，信号基带内的量化噪声与过采样率（OSR）成反比，增加过采样率，可以减小信号基带内的量化噪声，使得量化噪声的功率谱密度分布在更宽的频带内。

图1 所示为不同采样频率下的量化噪声功率谱密度分布图。fS1是奈奎斯特采样频率，fS1=2fB，fB为基带带宽，由图1 可见，量化噪声在奈奎斯特采样频率下功率谱密度全部分布在信号基带内。而在过采样频率fS2下，量化噪声被扩展到一个宽的频带内，只有一部分量化噪声落在基带内，因此降低了信号基带内的量化噪声，而基带外的噪声可以通过一个低通滤波器滤掉。

图1 奈奎斯特采样频率和过采样频率下的量化噪声功率谱密度

假设信号功率为Pi，则信噪比（SNR）为：态范围（量化器所能达到的最大信噪比）增加24dB，即相当于量化器的量化位数提高4 位。但是，过高的OSR 在硬件上难以实现，通常OSR 一般不超过512。

1.2 噪声整形技术

ΣΔ调制器具有独特的噪声整形技术，噪声整形就是将低频段的量化噪声转移到高频段，从而减小信号基带内的量化噪声，提高输出信噪比。

对于一阶ΣΔ调制器的基本结构如图2 所示。包括一个积分器、一个1bit 量化器和一个反馈回路。

式（5）表明，过采样率每提高一倍，SNR 可以提高3dB，即相当于将量化器的量化位数增加半位。当OSR=256 时，动其中积分器的传递函数为

为便于分析，可以用图3 所示的线性模型来做近似分析［5］，其中，量化器引入的量化噪声e（n）假设为加性噪声。

图2 一阶ΣΔ调制器

图3 一阶ΣΔ调制器的线性模型

图4 一阶、二阶、三阶ΣΔ调制器的噪声传输函数的频率响应

调制器的传输函数为：

式（7）中X（z）、Eq（z）分别为信号和量化噪声的Z 域变换，定义信号传输函数STF（z）和噪声传输函数NTF（z）分别为。

将式（6） 代入式（8） 和式（9），可得一阶ΣΔ调制器的信号传输函数和噪声传输函数。显然，系统对输入信号x（n）的传输只有一个延时，而对量化噪声是以一阶差分的形式进行传输。

同理可推知，在量化器前面插入L 个积分器可以构成L 阶ΣΔ调制器，对于L 阶ΣΔ调制器的信号传递函数（STF）和噪声传输函数（NTF）为：

根据式（12），图4 给出了一阶、二阶、三阶ΣΔ调制器噪声传递函数的幅频响应曲线。

图4 表明，随着调制器阶数的增加，噪声整形能力越好，基带内的量化噪声越小，一阶ΣΔ调制器在信号基带内的量化噪声最大，三阶ΣΔ调制器的量化噪声最小。

由式（3）和式（12）可得在基带0～fB内，L 阶ΣΔ调制器的噪声功率谱密度为：

假设f＜＜fS时，量化噪声功率为：

假设信号功率为Pi，则信噪比（SNR）为：

由式（15）可知，过采样率每提高一倍，基带内信噪比可以提高3（2L+1）dB，在输入信号功率不变的情况下，相当于量化位数提高了L+0.5 位。由此可见，ΣΔ调制器的阶数L 越高，则基带内量化噪声的整形效果越好，输出信噪比也越高。

2 ΣΔ调制器的系统仿真

设定ΣΔ调制器的阶数为5阶，过采样率OSR=128，量化器采用单比特量化，环路滤波器拓扑结构为一种带有局部反馈的前馈式求和结构。

根据以上确定的ΣΔ调制器的仿真参数，使用delta-sigma toolbox，在Matlab 中对该设计的调制器性能进行系统仿真，首先根据调制器的基本参数确定噪声传递函数（NTF）和信号传递函数（STF）的表达式，对输入输出信号进行时域和频域的仿真，仿真得到的噪声传递函数（NTF）为式（16）所示：

信号传递函数（STF）为式（17）所示：

图5 给出了输入信号和输出信号的时域仿真波形。输入正弦信号频率为146Hz，幅值为0.56，采样点数为65536。图6给出了输出信号的频谱图，由图可以得到，噪声被推到高频处，信号基带内输出信噪比为149.2dB。

图5 输入信号和输出信号时域图

结 论

针对信号基带内噪声问题，分析ΣΔ调制的过采样技术和噪声整形技术，理论和仿真分析研究表明，ΣΔ调制的噪声整形特性能将低频段的噪声整形到高频段，从而减小信号基带内的量化噪声，提高输出信噪比。

图6 输出信号频谱