裴永臣， 关景晗， 王佳炜

(吉林大学机械与航空航天工程学院， 长春 130025)

关于数值积分，中外学者还进行了各方面研究[6-8]。张建斌等[9]设计出了基于MATLAB的数值积分求解器，实现了数值积分的可视化功能。陈付龙[10]讨论了二元数值积分的计算方法，并给出了部分C语言代码。唐珺等[11]将递归算法与自适应积分结合用于定积分计算，与辛普森积分相比减少了计算量。还有学者利用遗传算法[12]、神经网络算法[13-15]、粒子群算法[16]、混沌布谷鸟算法[17]计算数值积分。Angulo等[18]将数值积分应用于红细胞生长模型研究。尽管涉及数值积分的研究较多，但是对于三重以上积分数值计算的讨论相对较少。

此外，当前广泛使用的各类科学计算软件具备一定的数值积分计算功能，如著名的MATLAB、Maple、Mathematica等，其数值逼近方法大大加快了复杂积分计算速度。然而，这些科学计算软件自带函数所能计算的积分重数普遍也不高于三重。例如，MATLAB软件虽然具有强大的矩阵运算能力，能够很好地胜任数据计算这一烦琐工作，但能够进行数值积分的自带函数只有quad、dbquad、triplequad三种，分别为一重、二重、三重积分函数，也就是说MATLAB自带函数最多只能计算三重积分，远不能满足科学研究和工程应用需要。

为了提高科学计算软件的积分计算重数，根据多重积分的解析计算方式将累次积分的思想应用于数值积分中[19]，现提出一种任意重积分自适应递归式快速计算方法(简称“自适应递归法”)。首先，详细介绍了任意重积分的算法思路，并将递归过程分为递推(划分积分区间)和回归(求解函数值)两部分进行阐述。……