贾云飞，郑德印

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 311121)

0 引言

在数论、三角函数逼近和插值、积分变换、离散傅里叶级数和数学物理方程求解等问题中常常会遇到一些在等分角上的三角函数求和问题.设T(θ)表示某一初等三角函数,那么对k的有限和(θk是等分上半平面的第k个等分角):

(1)

就属于这种情况.它已经被广泛地研究,比如,数学手册[1]就有如下的求和结果:

Byrne和Smith[2]使用Lagrange插值多项式证明了下面两类三角和

(2)

分别是n的2m-1和2m次的整数值多项式,并给出了多项式系数的递推关系.Hassan[3]使用样本定理和Lagrange型插值公式计算了大量的三角函数和,推广了文[2]的结果.文[3]还进一步指出,不仅有和值为n的整数值多项式的三角函数求和公式,也有和值为n的非整数值多项式的三角函数求和公式,其中两个简单例子如下:

最近,Annaby和Hassan[4]对这一问题又作了进一步研究,以Chebyshev多项式的零点为节点作Hermite插值得到了更多更复杂的三角函数和公式.

计算这类三角函数和的方法还有发生函数法和围线积分法.Chu和Marini[5]使用部分分式分解和发生函数方法系统地研究了类型(1)的三角函数求和问题,紧接着Berndt和Yeap[6]研究了此类三角函数和的两类基本类型:余切和与交错的余割和.王欣[7]将这一问题的研究向前推进了一步,在三角函数的角中增加了一个自由参数y,使用围线积分和发生函数两种方法,对这一问题作了系统研究,推广了文[5]的结果,得到了大量含有一个自由参数的此类三角函数求和公……