张梦琇 许梅兰

【摘要】本篇文章主要从教师讲授“行列式”与“矩阵”相关内容的情况，学生掌握“行列式”与“矩阵”内容的程度，学生章末测试成绩和学生课堂反应等方面，探究学生对“行列式”与“矩阵”相关内容熟练程度的教学反思，有助于帮助教师更好地调整授课方式，避免学生混淆“行列式”和“矩阵”的相关概念、表示方法、性质等.随后，笔者通过石河子大学2019～2020年度第二学期经济类专业1-4班线性代数的课堂实例，对学生学习效果进行课后反思，剖析产生“行列式”与“矩阵”相关知识点混淆的原因.最后，笔者结合课后反思，对同行今后的“行列式”与“矩阵”的教学设计给出几点意见.

【关键词】行列式;矩阵;区别;联系;教学反思

“行列式”与“矩阵”是线性代数中解决线性方程组问题的重要工具，因此，掌握“行列式”与“矩阵”的相关概念，利用“行列式”与“矩阵”解决线性方程组的相关问题是学好线性代数这门课程的基础，教师在讲授“行列式”与“矩阵”的知识点时，要注意“行列式”与“矩阵”的区别和联系.结合石河子大学理学院数学系教师的授课经验，笔者发现学生对于“行列式”与“矩阵”的区别掌握情况较差，多数学生出现相关知识点记错、混淆等情况，针对这种现象，笔者分别从教师的授课角度与学生的学习角度剖析现象产生的原因，以方便教师今后对这门课程的教学.

一、关于“行列式”与“矩阵”教师的授课情况

1.行列式的讲授过程

教师在讲授行列式的相关内容时，主要从三个方面介绍行列式：（1）行列式是什么;（2）为什么要学行列式;（3）行列式的应用.第一方面的内容主要从行列式的定义、表示方法和性质入手，在介绍行列式之前，为了引起学生对线性代数这门课程的兴趣，笔者从求解二元一次方程组入手，让学生回忆解决这类问题的方法，在学生回忆解决方法的同时，设置问题：对于这样一类二元线性方程组，我们是如何求解方程组的解的呢，这类方程组一定有解吗？笔者先让学生进行简短的思考，在学生思考、回答问题后，根据学生回答的情况引入二阶行列式，并给出二阶行列式定义、表示方法和n阶行列式的定义、表示方法，根据行列式的定义我们知道行列式的本质是一个数，因此求解行列式的值是解决行列式问题的关键.为了求解行列式的值，主要介绍以下两种方法：行列式的性质和拉普拉斯展开式定理，要想较好、较快地求解行列式的值，就要熟练掌握行列式的性质和拉普拉斯展开式定理.第二方面的内容主要是让学生认识到行列式的价值，行列式是“线性代数”求解方程组的工具，它既可以判断方程个数与未知量个数相等的方程组是否有解，也可以求解这类方程组解的具体数值.第三方面，行列式主要应用在利用克拉默法则求解这类方程组的解和判断方程个数与未知量个数相等的齐次方程组是否存在非零解上，但利用克拉默法则计算量较大，一般不做特殊要求时，我们不会选择利用克拉默法则求方程组的解.

2.矩阵的讲授过程

在讲授矩阵相关内容时，除了介绍矩阵的知识点外，还要注意讲述清楚“行列式”与“矩阵”的区别和联系，主要从以下两个方面介绍：（1）矩阵的基本知识点;（2）“行列式”与“矩阵”的区别和联系.在介绍第一部分内容时，要注意矩阵相关知识点的讲解，从矩阵的定义入手，介绍矩阵的运算法则及相关的性质，最后介绍矩阵的作用.矩阵不同于行列式，矩阵是一个数表，它具有很强的应用价值.在介绍矩阵的运算法则时，要注意运算法则的适用条件，不是所有矩阵都能进行矩阵运算，要利用矩阵运算条件先进行判断，再进行矩阵的相关计算;对于矩阵的性质是针对矩阵的运算法则而言的，利用矩阵的性质可以减少矩阵运算的难度;生活中矩阵的应用很广泛，例如，上课的课表，如果用数字代表课程，课表就是一个典型的矩阵，在“线性代数”中，矩阵是求解一般线性方程的工具，利用矩阵可以判断方程组是否存在解，若方程组存在解，解的结构又是怎么样的呢？第二部分主要从概念、运算等角度区别“行列式”和“矩阵”，从概念的本质、表示方式和比较大小三个方面进行介绍.运算主要从加法、减法、数乘、乘法和转置等角度进行区别.

二、关于“行列式”与“矩阵”学生的学习情况

1.学生对行列式的学习情况

笔者从三个方面介绍学生对行列式的掌握情况：（1）行列式的基本概念：学生能熟练地掌握行列式的本质，行列式的实质是一个数，根据行列式的定义，我们知道行列式是一个行数和列数相等的数表，根据规则计算出来的一个数值，这个数值就是行列式的本质，行列式是一种特殊数表的值，它要求这个数表的行数和列数相等，但多数学生利用行列式的定义求解行列式的值时，会有惯性思维，主要体现在高阶行列式的计算上，由于二阶、三阶行列式的计算我们采用对角线法则求解行列式的值，随着行列式行数和列数的增加，对角线法则不能解出高阶行列式的值，多数同学将对角线法则推广到高阶行列式上，这说明多数学生没有真正理解行列式的定义，因此在讲授行列式的定义时，要注意强调行列式概念中容易出现错误的地方;（2）行列式值的计算过程：行列式值的计算是学习行列式这部分内容的关键，利用行列式的性质和拉普拉斯展开式定理是求解行列式的值的重中之重，學生对行列式性质和拉普拉斯展开式定理的内容掌握得不错，但利用行列式的性质和拉普拉斯定理求解行列式的值的熟练程度不够，在求解高阶行列式的值时，多数学生无从下手，学生观察行列式特点的能力较差，课后总结解题方法和举一反三的能力较差，多数学生一看到行列式的题，就利用行列式的性质开始化简，这样做题消耗时间多，遇到较复杂的行列式、计算量较多的行列式，他们经常会出现错误，从而徒劳无功，在求解行列式的值时，教师应培养学生观察行列式，总结行列式的特点，结合行列式的特点，选择合适的方面进行求解，而不是盲目解题;（3）行列式的应用：学生利用克拉默法则判断未知量的个数和方程组个数相等的方程组解的情况掌握得不错，但利用克拉默法则求解方程组时，多数学生会出现计算错误，不细心，由于利用克拉默法则求解方程组的计算量较大，多数学生不愿意采用此方法进行计算.

2.学生对矩阵的学习情况

学习行列式后，多数学生对矩阵的基本概念掌握得较快，但同样会出现这样的问题，学生容易用行列式的表示方法来表示矩阵，行列式用“| |”表示，而矩阵用“（）”或者“[ ]”表示，在教师讲授过程中，要注意区别“行列式”与“矩阵”，它们二者有本质上的不同.在学生搞清楚二者本质后，对矩阵的加、减、数乘和转置运算掌握得不错，容易出错的就是矩阵的乘法运算，学生对于矩阵乘法运算所出现的问题，主要体现在两个方面：第一，学生根据定义能判断什么样的矩阵可以进行乘法运算，但少数学生不能准确地确定积矩阵的行数和列数;第二，学生在确定积矩阵的行数和列数后，不知道如何确定积矩阵的元素.因此，教师在讲授这部分内容时，要引导学生探究矩阵乘法的应用价值，用生活中的实例来方便学生理解矩阵乘法的概念，例如，已知一个厂商一年内每个月的销售量和每月的平均销售单价求一年的销售额，这个问题的实质就是矩阵的乘法，同时要注意二者的联系，方阵的行列式运算，它的实质就是行列式的计算.

三、针对“行列式”与“矩阵”的教学反思

在2019-2020年度第二学期的授课过程中，经济类1-4班的学生在章末测试和期末考试中，多数学生出现行列式与矩阵表示方法的混用，用“| |”表示矩阵，没有从本质上搞清楚“行列式”与“矩阵”的概念和表示方法的不同.另外，方阵的行列式运算的性质与行列式性质的混用，例如，多数学生看到|2A|，知道这道题考的是方阵的行列式运算，直接就在测试卷子上写|2A|=2|A|，出现这样错误的同学很多，占四个班学生的80%以上，这些学生没有考虑行列式符号里面的研究对象是什么，A是指矩阵，2A表示矩阵A的每个元素都与数字2相乘，这样我们知道“| |”里面的元素每一行（或每一列）都有公因数2，再做行列式的运算时，我们把公因数2提出来时要考虑矩阵的行数（或列数），若题目已知矩阵A的阶数为3，则|2A|=8|A|.少数学生的试卷上还会出现行数和列数不等的行列式等，针对上述现象，教师要做以下课后反思：（1）针对学生概念不扎实、表示方法乱用，教师应在课堂上做出强调，强调“行列式”与“矩阵”二者概念、表示方式和运算上的不同，注重学生对“行列式”与“矩阵”基础知识的掌握情况，例如，什么是行列式，什么是矩阵，用什么表示行列式、表示矩阵，这些看似不常见的问题，往往多数学生会在基础知识上丢分;（2）在“行列式”与“矩阵”的应用上，“行列式”与“矩阵”解决线性方程组的类型不同，行列式适用于解决未知量个数与方程个数相等的线性方程组，而矩阵适合求解一般的线性方程组，利用矩阵求解方程组，判断方程组解的情况应用更广、使用价值更高;教师在讲述求解线性方程组时，要尝试以学生为主，让学生自己探究适用行列式求解线性方程组的使用条件及什么样的线性方程组适合用矩阵的方法求解;（3）在求解方阵的行列式运算时，多数学生没有搞清楚哪一块是矩阵，哪一块是行列式，在讲授方阵的行列式运算时，要先强调“数”与“行列式”相乘及“数”与“矩阵”相乘的区别，然后，从方阵的行列式运算的本质入手进行说明.为了提高线性代数教师的授课质量，教师应该学会从学生的角度出发，设想学生会遇到的问题，再考虑合适地解决方法，从而提高教师的工作效率.

四、针对“行列式”与“矩阵”的教学意见

根据自身的教课经验，笔者特提出以下五点教学建议：

（1）强调“行列式”与“矩阵”的区别，并注重它们的联系，教师要进行课程的学情分析，分析、考虑学生已有的知识，学生在学习“矩阵”这一章内容时，他们已经学习了“行列式”的相关内容，在已有学习行列式经验的基础上易出现记错、记混的情况，容易出现用已有的行列式的表示形式表示矩阵，认为二者都和一些数字有关，没有从本质上区别“行列式”“矩阵”和数字三者的关系.

（2）强调“行列式”与“矩阵”二者的应用价值，教师要培养学生自己探究问题的能力，结合生活中的实例，探究行列式与线性方程，矩阵与线性方程的关系，让学生通过生活中的实际问题，结合问题的数学背景找到问题与“行列式”“矩阵”的关系，学会用“行列式”与“矩阵”的相关知识解决问题.

（3）多数学生不细心、不踏实，遇到较复杂的行列式的计算题就放弃求解行列式的值，教师要注重培养学生观察“行列式”和“矩阵”特点的能力，只有观察好“行列式”与“矩阵”的特点，才能选择合适的解题方法，有效地解决问题.

（4）注重“行列式”与“矩阵”知识点的联系性，教师要在强调区别的同时，注重各章节知识的衔接性，在教课过程中做好各章节知识的过渡工作.

（5）线性代数中矩阵的知识，贯串在各个章节，教师要注重矩阵基础知识的讲解，只有打好“地基”，才能建造稳固的“大楼”.

教师在教学过程中，不仅要注重教学方式、学生的课堂反应情况，更要注重课后反思工作.教師要结合学生课堂的反应情况，对知识点的掌握情况和学生运用所学知识解决问题的情况，来充实自身的教学经验，这样才能提高教师的工作效率.教师要学会从学生的角度考虑问题，剖析问题产生的原因，在教学过程中，注重与学生课上、课下的互动，不要认为有些知识点是很简单就一语带过，例如，行列式的概念、表示方法等，这些看似很容易的知识点，往往多数学生都会出错，因此，教师要总结经验，通过书写课后反思提高自己的教学水平.

【参考文献】

[1]戴斌祥.线性代数[M].北京：北京邮电大学出版社，2018.

[2]纪德云，张良，赵春昶，刘玉蓉.线性代数[M].北京：清华大学出版社，2017.

[3]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2011.