杨 扬，李桂花

(中北大学 理学院，山西 太原 030051)

0 引 言

媒介传染病是通过媒介将病原微生物传染给宿主后进行传播的传染病，常见的媒介有蚊子、蜱类、三尖虫、沙蝇和黑萤等.媒介传染病始终威胁着人类健康，这就对如何预防传染病提出了严重的挑战.对传染病模型的研究可使我们更了解疾病的传播，从而为疾病的控制提供一些合理的建议.

在常见的传染病模型中，对以蚊子为媒介的疾病，比如疟疾、登革热、西尼罗河病毒(WNV)的研究较多[1-6].模型在建立过程中，一般假设恢复率μ为常数.但在现实生活中，恢复率与医疗资源的数量有关，如果医院有足够的病床(设病床数量为b>0)，病人就能够得到有效的治疗.在病床数一定的情况下，染病者数量越多，恢复率越低.因此，设恢复率函数是染病者数量Ih的减函数.取恢复率函数为[7-8]

本文将宿主种群Nh分为易感者Sh、染病者Ih和恢复者Rh，将媒介种群Nv分为易感者Sv和染病者Iv，且满足关系式Nh=Sh+Ih+Rh及Nv=Sv+Iv.建立如下系统

(2)

本文接下来考虑平衡点的存在性，研究平衡点的稳定性及分支情况，通过数值模拟验证了Bogdanov-Takens分支、Hopf分支和极限环的存在.

1 平衡点的存在性

为分析平衡点的存在性，令系统(2)的4个微分方程的右端都等于零，即

接下来分析正平衡点的存在性，由式(3)、式(5)和式(6)可得

将上述所得Iv，Sh，Nh代入式(4)得

(7)

其中

A2=βvdhd0(A+Nv0βh)>0，

A1=Abd1dhβv-Nv0βhβvdhA+

Nv0βhβvdhbd1+A2(1-p)dvd0，

A0=-Ab(Nv0βhβvdh-Ad1(1-p)dv)=

-A2bd1(1-p)dv(R0-1).

为了确定方程(7)正根的存在性，考虑下面的情况：

1)R0>1时，即A0<0，此时Δ>0，方程(7)只有一个正根Ih2.

2)R0<1时，即A0>0，分以下两种情形讨论：

ⅰ)A1>0，方程(7)无正根；

3)当R0<1时，系统(2)不存在正平衡点，若满足下列条件之一

ⅰ)A1>0，

ⅱ)A1<0，Δ<0.

2 稳定性和分支分析

则无病平衡点……