刘 杰

(呼和浩特民族学院 数学与大数据学院, 内蒙古 呼和浩特 010051)

0 引 言

下是Hilbert空间.进一步, 在乘积空间Y⊕X中, 定义内积

(v1,v2)Y⊕X=(f1,f2)Y+(g1,g2)X=

(1)

式中：v1=(f1g1)t,v2(f2g2)t∈Y⊕X，则在内积(1)下，Y⊕X是Hilbert空间.

本文通过算子矩阵的因式分解, 借助 Schur 补算子和二次补算子, 研究无界算子矩阵

(2)

(3)

式中：A和D为稠定可闭算子.并给出式(2)和式(3)定义的算子矩阵M生成Hilbert空间Y⊕X(⊂X⊕X)中压缩半群的充分必要条件.

文中D(A)和R(A)分别为算子A的定义域和值域,A|S表示算子A在线性子空间S上的限制，Re(z)为复数z的实部.

定义1[10]设(T(t))t≥0是从 Banach 空间X到X的有界线性算子的单参数族, 称(T(t))t≥0为强连续有界线性算子半群(简称C0半群), 如果

1)T(0)=I,I为X上的单位算子,

2)T(t+s)=T(t)T(s),t,s≥0,

进一步, 若‖T(t)‖≤1,t≥0, 则称(T(t))t≥0为压缩半群.

定义2[10]若Hilbert空间X中的线性算子A满足Re((Av,v))≤0,v∈D(A), 则称A为耗散算子.

1 主要结论及证明

下面给出本文的主要结论.

定理1设M为式(2)和式(3)所定义的算子矩阵, 则M生成Y⊕X上的压缩半群, 当且仅当以下条件成立:

因此，由式

Re((Af,f)Y+(g,f)Y+(Cf,g)X+(Dg,g)X)=

(Cf,g)X+(Dg,g)X)=Re((Af,f)Y+

(g,-Cf)X+(Cf,g)X+(Dg,g)X)=

Re((Af,f)Y+(Dg,g)X),

v=(fg)t∈D(M)，

可知

Re((Mv,v)Y⊕X)≤0,v∈D(M),

即M是Y⊕X中的耗散算子.

(4)

式中：T1(λ)=C-(D-λ)(A-λ).

记

推论1设Hamilton算子矩阵为

Y⊕X→Y⊕X，

则H生成Y⊕X(⊂X⊕X)上的压缩半群, 当且仅当以下条件成立:

定理2设M是式(2)和式(3)所定义的算子矩阵, 若A是闭算子, 则M在Y⊕X中生成压缩半群, 当且仅当以下条件成立:

证明充分性.由条件(1)可知, 算子M为耗散算子, 其证明过程与定理1相同.因0∈ρ(C),M-λ(λ>0)具有如下分解

M-λ=

(5)

式中：T2(λ)=I-(A-λ)C-1(D-λ).

记

结合A的闭性和D(C)⊂D(A)可知,AC-1在X中有界, 因而E3是双射.因此,M-λ是满射当且仅当T2(λ)是满射.由条件R(T2(λ))=Y可知,R(M-λ)=Y⊕X.所以,M生成Y⊕X上的压缩半群.

定理3设M是式(2)和式(3)所定义的算子矩阵, 若D为X中一个压缩半群的生成元, 则M在Y⊕X中生成压缩半群, 当且仅当以下条件成立:……