洪绍鹏 王冀惟

[摘 要]考虑到单一区制的GARCH族模型存在无法捕捉数据的结构性突变的缺陷，文章构建MS（2）-GJR-GARCH模型对上证指数与深圳指数的日收益率进行了拟合，采用MCMC方法以避免参数估计中存在的路径依赖问题。模型拟合结果说明：①上证指数与深圳指数均存在显著的区制转换特征;②在样本期内，低波动率区制占有较长时间;③波动率易受外部事件的影响。

[关键词]杠杆效应;波动率聚集;MS（2）-GJR-GARCH;MCMC估计

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2021.05.031

1 文献综述

由于GARCH类模型往往会出现波动率高持续性的现象（Lamoureux，1990），并且无法刻画波动率的非对称性随时间变化的现象（Caporale，2002）。

Hamilton和Susmel （1994）提出了MS-GARCH模型，在该模型中，收益率的条件分布取决于一个不可观测的马尔可夫链，通过区制的转换解决了模型数据中存在的结构性突变问题，并讨论了在MS-GARCH模型中由于存在路径依赖问题从而导致使用最大似然法进行参数估计会无法精确估计参数的问题。由此引出了大批学者对MS-GARCH参数估计的问题进行研究。

由于MS-GARCH待估计参数较多，后验积分难以计算。贝叶斯估计大多使用马尔可夫链蒙特卡洛模拟（MCMC）方法去解决后验密度积分维度过高，难以计算的问题并同时可以解决路径依赖问题（Bauwens 等，2010，2011）。或者使用MCEM算法去估计MS-GARCH的参数（Augustyniak，2014）

2 理论基础：MS-GARCH

令yt为t时刻的收益率，假设：①Eyt=0，即零均值假设;②序列之间不存在自相关。根据Ardia 等（2018）的研究，MS-广义GARCH模型符合以下形式：

yt|（st=k，Jt-1）～D（0，hk，t，ξk）（1）

其中，Jt-1≡{yt-i，i>0}，st为一阶时齐马尔可夫状态空间K中的一个状态，hk，t为时变方差，ξk为形状参数。在给定分布D（·）后，有E[y2t|st=k，Jt-1]=hk，t。由此，推出hk，t为在给定状态st以及信息集Jt-1后的yt的条件方差。根据Haas 等（2004）的研究，假定yt的条件方差服从一个GARCH族模型。在st=k时，得出：

hk，t≡h（yt-1，hk，t-1，θk）（2）

其中，yt-1為t-1期收益率，hk，t-1为在状态k下，t-1期的条件波动率，θk为该状态的参数向量。假定hk，1≡h—k（k=1，…，K），即在每一状态的第一期都有一个固定的波动率。笔者设置其为在状态k下的无条件波动率。

令h（·）的形式如下：

hk，t≡ωk+（αk+γkI{yt-1<0}）y2t-1+βkhk，t-1（3）

其中，I（·）为示性函数来刻画波动率聚集与杠杆效应，当yt-1<0时，I（·）取1，否则取0。通过这样一个示性函数来描述当收益率面对一个负面冲击时，收益率波动往往大于一个正面冲击的波动。为限制hk，t协方差平稳，需要添加限制条件：αk+βk+κkγk<1，其中，κk≡P[yt<0|St=k，Jt-1]。

对于D（·）的设定，由于收益率常存在高峰肥尾右偏的特性，选择偏t分布作为收益率的条件分布。

3 实证研究

本文使用上证指数（000001.SS）与深圳指数（399001.SZ） 2005年1月7日至2019年11月1日共3600天的数据。

3.1 数据描述性统计

本文选择使用日对数收益率rt=lnpt-lnpt-1。，是根据Wind数据库的收盘指数进行计算得出的。表1报告了上证指数与深圳指数日对数收益率的基本统计量。从最大最小值可以看到，由于涨跌停板的存在，收益率的浮动区间大致在-0.09～0.09;从均值来看上证指数与深圳指数均值均为0，符合假设;从偏度与峰度来看，上证指数与深圳指数均存在高峰肥尾偏右的情况，并且从JB统计量得出，指数的对数收益均不符合正态分布。从ARCH效应检测结果来看，两指数均存在ARCH效应，需要考虑使用GARCH进行拟合。

3.2 参数估计

本文使用MCMC法对模型进行拟合，其中，抽样500000次，预烧50000次，为降低样本自相关性，每隔50个样本抽样一次。初值由极大似然法拟合的参数决定。

表2报告了上证指数与深圳指数的模型参数使用后验期望作为参数的点估计。。可以看到，区制1与区制2的参数有着明显不同，说明沪深股市存在区制转换特征。

3.3 波动率分析

MS（2）-GJR-sstd模型将上证指数与深圳指数的波动率分成了两个区制：低波动率区制（区制1）与高波动率区制（区制2）。在低波动率区制，上证指数无条件波动率后验均值与深圳指数无条件后验均值大致相同，仅相差0.001。在高波动率区制，上证指数与深圳指数的无条件波动率后验分布均值相比于低波动率区制有明显提高，上证指数的无条件波动率后验均值提高了366.67%，深圳指数的无条件波动率后验均值提高了317.50%。说明我国上证指数与深圳指数的波动率均存在明显的区制转换特征，高低波动率区制划分明显。并且发现上证指数波动率在从低波动率区制转换到高波动率区制时无条件波动率后验均值相比于深圳指数的无条件波动率后验均值会有更大提高，详见表3。

表4报告了上证指数与深圳指数的概率转移矩阵，可以发现从t期到t+1期两种状态都更有可能保持原有状态，而只有很小的概率转换到另外一种状态，这说明上证指数与深圳指数的低波动状态与高波动状态都具有很强的持续性，也就是存在“长记忆性”。并且从高波动率区制转移到低波动区制的概率大于从低波动率区制转移到高波动率区制的概率，市场更有可能从高波动率区制转移至低波动率区制而不是从低波动率区制转移至高波动率区制。这说明两市场的波动率均有向低波动率复归的特点。