高允报，孙玉泉

(北京航空航天大学数学科学学院，北京 100191)

Lyapunov指数(LE)可以判断动力系统的混沌状态，在研究混沌运动特性中起着非常重要的作用，是衡量动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率[1].系统的混沌状态可以通过LE的正负来判断，所以研究如何计算LE就非常必要.

近年来国内外学者对LE的计算方法做了很多研究.严雯等[2]利用定义法求解了Logistic模型的最大Lyapunov指数(LLE)；Wolf等[3]利用Wolf法计算出几种混沌系统的LLE；Rosenstein等[4]提出小数据量法来计算LLE.然而定义法只适用于计算已知系统的LE；Wolf法计算LLE时过程较为复杂且结果往往不精确；小数据量法在不知系统方程而仅可获得离散数据的情况下计算LLE时，对于线性区域的判断往往通过直观观察，导致结果误差较大.本文将模糊C均值聚类算法用于小数据量法线性区域的选择，提出了模糊C均值聚类小数据量法，提高了计算时间序列LLE的精度，且通过适当增加每次迭代的离散时间步长加快了计算LLE的速度.

1 预备知识

定义1.1Lyapunov指数：

(1)

经过n次迭代后，这两点的距离变为

δxn=|fn(x0+δx0)-fn(x0)|.

(2)

定义LE如下[5-6]：

(3)

对于一般的n维动力系统，定义LE如下：设一个n维动力系统xn+1=F(xn)(Rn→Rn)，将系统的初始条件取为一个无穷小的n维小球，半径取为ε(0)，由于演化过程中的自然变形，小球将变成椭球，见图1.将椭球上所有主轴按照其长度排列，那么第i个LE根据第i个主轴的长度εi(t)的增加速率[7-8]定义为

(4)

最大的λi称为LLE.系统的混沌状态可以通过LLE的正负来判断，当LLE大于零时系统处于混沌状态；……