刘玮玮 齐 晨

（北京市海淀区五一小学 北京 100039）

2011版《数学课程标准》明确指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、几何直观、运算能力和模型思想等。在“数与代数”领域的教学中，教师可以借助直观模型让学生认识数、表示数、比较数的大小并对数进行运算，提高课堂实效性。学生在借助直观模型解决问题的过程中，获得活动经验，发展数感及运算能力。因此，本文以“数直线”这一直观模型为例，试图梳理了数直线模型在小学教学中的编排情况及实践应用。

1 对数直线模型的认识

所谓直观模型，王长沛教授有过这样的论述：“结构化的学习材料”。也就是，在认识数、对数进行运算的过程中，在满足学生需求的条件下，具备数的组成结构十进制特征的学习材料。在小学数学阶段，教材呈现了大量的直观模型帮助学生加深对数的认识，提升运算能力，例如：小棒、计数器、人民币、数直线模型等。

在这些直观模型中，数直线模型较为特殊。数直线模型是“数轴”的雏形，它作为一种形象化的工具，将“数”与“形”完美结合，建立起“数”与“点”的一一对应关系。学生借助数直线可以直观的认识数，发现数与数之间的联系。同时，学生可以感受数直线所具备的连续性，逐渐体会数域的形成及扩展过程。

因其自身特点，数直线在数与代数领域学习中有着较为广泛地应用，很好地支撑了学生对数的认识和运算的理解。虽然数直线能够清晰直观的表示对应关系，但从某种程度上讲，数直线的抽象对于小学生而言是相对困难的地方。因此，在使用数直线模型的过程中，我们需要考虑到直观模型的优势，可以引用数直线把抽象的“数”以“形”的形式体现。同时，需要考虑小学生的知识及年龄特点，进行有效筛选、编排，找到适合的教学内容，再采取数直线模型来辅助教学，逐步促进学生数形结合思想的发展。

2 数直线在教材中的编排情况

由于数直线模型本身具有一定抽象性，为了符合学生的成长逻辑。思维层面，在教材的编排上，学生经历从“实物图”到“数尺”再到“数直线”抽象的过程，逐渐感悟数直线的应用价值，抽象数学本质，感悟数学思想。知识层面，无论是认识数还是运算数的过程，都积极引导学生在线上找到数，适时将“数”与“形”进行有机结合。在认识数本身和比较数大小的过程中，教材也注意引导学生借助数直线从自然数逐渐扩充到小数、分数的认识和比较。学生能够直观的感受数域扩充的过程，深化认知。

2.1 数认识领域

2.1.1 认识数本身

在小学阶段，在认识数的过程中，无论是自然数、小数、分数还是正负数，都会借助数直线模型来呈现。通过对北师版教材的梳理，我们发现教材的编排意图不仅仅停留在认识数直线，而充分将“数”与“形”结合，借助数直线来直观的认识数，观察数的特征，从而关注到数与数之间的内在关联。

尤其是在分数意义的教学中，学生经历了将单位“1”平均分的过程，找到相应份数，从而用分数表示。本单元的教学中难点在于学生容易忽略了分数本身就是一个数，教材此时让学生在数直线上标出分数，使其“数”的身份直观地得以外显。

2.1.2 比较数大小

学生在认识数之后，将会对数进行比较大小。由于数直线自身的特点，它能够直观、清晰地体现出“数”与“点”在“线”上一一对应的关系。同时，数直线一般规定向右为正方向，也就是在直线上的数越往右数就越大。便于学生观察数的大小，对数进行比较，逐步发展数感。

2.1.3 极限思想

在小数部分教学中，学生理解0.1与0.2之间有无限个小数是教学难点，这其中蕴含了极限思想。那么对于这样抽象的问题，学生理解是必然有难度的。这就需要教师采用直观的方法来将此问题进行外显，此时数直线就可以清晰地表示这个过程。学生可以在数直线上无限地进行平均分，平均分得越精细，得到的小数单位就越小，最终借助数直线将极限思想外显。

在数比较的过程中不仅有大有小，还有相等的可能，那数直线中可以表示相等的数吗？答案是肯定的。数直线可以清晰的表示等值分数，学生能够快速地找到四分之一、八分之二、十二分之三等，然后清晰地发现他们在数直线上的“点”是一致的，也就直观地感受到了这三个分数是等值的。小数部分也同样如此，学生能够一目了然地看到0.1、0.10、0.100在数直线上的位置，发现无论后边添多少个0，数值都是一样大的。

2.2 数运算领域

2.2.1 外显运算本质

数直线在四则运算中也发挥着不可替代的作用。四则运算的意义是较为抽象的，而对于小学阶段的学生而言，这样的抽象对于他们本身就是一个难点，同时还要面对遇到问题选择恰当的运算法则，这就需要对四则运算的意义极为理解。那么面对抽象的意义学习就需要用数直线这样的直观模型来刻画。在梳理教材中对于四则运算意义的编排可以发现，数直线作为直观模型来辅助数的运算，它将运算的过程直观呈现，让运算的本质外显。

2.2.2 勾连运算关系

在小学生的运算中，加减乘除四种运算各自有各自的意义，但是它们不是孤立存在着，它们的运算意义之间具有密切的内在联系。而这种内在联系，小学生理解起来并不像我们想象的那样容易，此时我们不妨把它放在数直线上，让学生逐步感受，引发他们产生对四种运算内在关联的思考。

如上图，在数直线上，加法就是向正方向不断累加的过程，当在数直线上逐渐向正方向按相同距离累加时就延伸出了乘法的意义；如果将数向相反的方向减少（距离可等可不等），就产生了减法，而除法就可以理解为这样的反方向、等距离减少。因此，数直线可以直观地使学生观察到每种运算的过程，很好地外显出四则运算的内在联系，有效发展学生的运算能力。

3 数直线在实践中的应用

3.1 在课堂学习中的应用

3.1.1 低年级加减法问题中的应用

在北师大版二年级下册加与减单元中，教材编排了三位数加与减的方法教学。在直观模型的使用中，教材着重渗透了数直线的使用。例如“453+129=”，首先引导学生在数直线上的起点标为453，再将129拆分成100、20和9，同时引导学生在数直线上注意100、20和9的距离长短，最终依次累加找到答案。在这个过程中，不仅关注到了数直线的使用，还关注到了将“数”用“形”的形式外显，最终解决问题。同时，引导学生在累加的过程中注意距离的长短，发展运算能力的同时，借助直观来培养学生的数感。

3.1.2 近似数的学习

（1）四舍五入。在小学阶段，“四舍五入”求取近似数是学生心中的一种规则。到底为什么会有这样的规则？为什么要求取近似值时要“四舍五入”？其实，学生是不能理解的。而“四舍五入”的背后是有道理的，我们应该让孩子们去感受、去体会，从而理解“四舍五入”的本质。因此，我们尝试用数直线帮助学生理解求近似数时“四舍五入”的方法。以下是教学中的一个活动，这个活动内容在于让学生借助数直线理解“大约40人”的含义：

教师：咱们年级有一个班大约40人，你觉得他们班可能有多少人？请你认真思考，试着在黑板上的数直线中标一标，并说说你的想法。

预设①：我标了39，因为39离40比较近。

预设②：我标了38，因为38离40只差两人。

……

预设③：我标了34，我觉得34也有可能。

教师追问：34真的可以吗？

预设：我觉得不可以，因为我们从数直线上观察到34离30更近一些。

教师追问：还有其他想要补充的吗？

预设④：那35到底是近似成30还是40呢？我从数直线中看到，35离30或者40的距离是一样的。这该怎么办呢？

教师：那我们为了方便，我们定一个规则进行统一，我们把35近似成40。

预设⑤：我明白了！45虽然离40和50的距离是一样的，但按照刚才的规则，我们把45近似成50。

预设⑥：所以能够近似成40的数分别是44、43、42、41、39、38、37、36、35。

设计意图：本环节通过学生间的合作学习讨论，让学生感受到“四舍五入”方法的来源，加深本身对近似数的认识，在这个过程中借助数直线模型让学生初步感知数域。

在教学中，我们借助数直线直观从接受规则到自主生发，“四舍五入”水到渠成，最终理解“近似数”的实质。同时，在这个过程中学生从能够主动产生“四舍五入”的需求。这个过程，已经悄无声息地让学生心中的“规则”转变成了“需求”。

（2）截取近似数难点（最大值、最小值）。在近似数部分的学习中，学生对于寻找一个具体数的最大、最小近似数是难点。学生经常在“忽略‘四舍’、找不到真正的极值”等问题出现错误。因此，我们借助数直线直观地将“数”与“形”结合，尝试突破难点。教学前，学生在潜意识里认为，数直线上标出2万的近似数是点状的，而在实际学习过程中他们逐步认识到，其实这些点是连续的，是密集存在的，是可以从区间（区域）的角度去思考以及认识的。这是一个新的视角，一次新的成长！因此我认为，近似数的学习是学生对数认识的一次飞跃——从“点状分布”认识飞跃到“区间线状分布”认识。以下是教师在具体课堂教学实践过程中的主要环节设计以及师生的交流情况：（见表1）。

表1

学生首先在数直线直观找到20000左右的两个数可能是近似数。在教师的引导下，学生逐渐直观发现20000的近似数有无限多个，同时还能在数直线上找到一一对应。学生在这个从点状分布逐渐探究到线状分布的过程中，借助数直线模型发展学生的极限思维。一条数直线让学生从有限个数发展到无限个数，思维上从“点”勾连到“线”，从“线”上升到“范围”。

3.1.3 正负数的认识

（1）认识意义。对于小学阶段“数与代数”部分的知识内容来说，负数的认识与之前其他数的认识不同。它会让学生看到之前学习的所有数都可以找到与之意义相反的数。对于负数认识本身而言，学生的正确认识以及充分理解会直接作用于他们对正数的理解，并进一步丰富、加深对前面所学内容的认识。在认识负数的教学过程中，教师既要从生活中引入负数，还要让学生直观地看到负数的所在位置。因此，数直线作为一条直线，它可以向反方向无限延长，这一特点能够帮助学生直接在线上找到对应的点来表示负数。学生经历在数直线上找负数的活动经验后，将会对正数、负数的意义理解得更深刻。

（2）三个“蕴伏”。基于负数本身的特点，它与正数是不可分割的，需要捆绑在一起进行研究。然而对于正负数的学习主要处在初中阶段，那么对于小学阶段学生能否主动产生对正负数的感知呢？答案是一定的。在小学阶段，负数教学中数直线模型蕴伏着相反数、绝对值和正负数运算的认识。

负数自身具有丰富的内涵，在小学学习中可以借助数直线予以适当蕴伏，为后续学习奠定基础。在教学中，当学生将一些正负数标在数直线上时，教师引导学生观察（如图1）：它们到0的距离谁更远？谁更近？适时蕴伏绝对值；教学中，教师有意识地引导学生将相反数一对一对地标在数直线上（如图2），使学生直观看到其与原点“0”的距离相同，蕴伏相反数；在充分观察交流正负数的过程中，蕴伏正负数运算（如图3）。

3.2 在学习评价中的应用

数直线的使用不仅存在于课堂教学中，在评价中也能看到数直线模型的身影。然而数直线不是应用于评价中，而是在应用中借助它来考查学生对于数本身、数运算的认识。例如在从教材的编排以及海淀区七年级监测的试卷中均有涉及。

以海淀区七年级监测为例进行说明：本题考察了学生对小数、分数数值大小的判断及四则运算意义的理解。如果不借助数直线模型进行评价，可能会出现填比较符号判断数值大小，将所给数进行排队等题型。当把这些“数”放在数直线上，让这个“数”的大小通过它体现出来。“m、n”在0和1之间，那它们一定是大于0小于1的小数或者真分数。同时，借助数直线进行评价，“m、n、t”本身没有具体数字，学生需要根据图意进行设数或者真正结合四则运算意义出发判断数值大小。这种抽象的考察方式，对于学生来说是对数的认识、四则运算意义的真正理解。这些都是学生在数直线中提取到的数学信息。而提取这些信息的过程，就是学生对于数的认识。

而学生们这些认识就是源自于平时练习中把“数”放在数直线上，将“数”与“形”结合角度理解数和运算。因此，评价是一种教学导向，测查学生学习能力的一种方式。作为教师，随着学生年龄的增长，我们也需要借助数直线模型帮助学生更深入理解数、理解运算意义，最终提升运算能力和数感。

4 写在最后

数直线这一直观模型很好地支撑了学生对数意义以及数运算的认识与理解，可以使学生的学习有机会向纵深处不断迈进。数直线是数轴的雏形，而数轴在学生的后续数学学习中具有重要的价值。小学阶段数直线的理解与运用会为学生积累宝贵的学习经验，因此我们在教学中要给予应有的重视，适时引导学生应用数直线表达思考，深入探究。与此同时还要注意不要将数直线过早地抽象到数轴的高度，在应用数直线的过程中，也不要过早地让数直线模式化。我们可以适时引导学生在学习过程中进行有效创造，使他们能够更丰富、更深入地理解、认识以及解决问题。

通过对数直线的思考与课堂实践，我发现：一条简简单单的数直线，架起了抽象与直观之间的桥梁，数与数之间的桥梁，知识与经验之间的桥梁，能力与思维的桥梁，对提升学生的数学核心素养发挥了积极而重要的作用。作为教师的我，也在数直线的研究中与孩子们一起真切地体验着，真实地收获着，不断地成长着……