谢广喜

科学之美，美在对称，对称性是图像（或表达式）作一定的变换后而保持不变的一种性质（这个变换就称为对称变换）. 有时也讨论两个图像是否关于某个对称轴对称. 由于对称的情况下问题具有一些不对称时所不具有的独特性质，如果我们解题时能发现并充分利用这些独特的特点，就可方便解题.因此具有对称性的问题（如选择题或填空题等）就容易被猜出答案，解答题也容易由问题的对称性出发产生一些特殊的研究问题的办法（如对称引参、附加强化条件等），故具有对称性的问题相对比较容易，而不具有对称性的问题则相对困难.

研究近年来出现的一些试题，我们发现：高考命题（包括竞赛试题）有从对称性的问题向非对称性的问题转变的趋势，值得注意.下面我们主要研究在对称性思想指导下如何探求解题思路.

一、置换对称（交换对称）

对于任意有意义的x， y，如果表达式f（x， y）总有f（x， y）= f（y， x），即交换x， y，表达式不变，我们称字母x， y对于表达式f（x， y）具有置换（交换）对称性.

例1. 已知集合A={（x， y） | x2+y2≤3， x∈Z， y∈Z}，则A中元素的个数为（）

A. 9         B. 8         C. 5         D. 4

【简解】首先我们注意到坐标原点（0， 0）∈A ，除此以外，在第一象限及x轴正半轴仅有两个点（1， 0）、（1， 1）∈A，把这两个点关于x轴对称，x轴对称，直线y=±x对称，坐标原点中心对称，显然点（-1， 0）、（0， 1）、（0， -1）、（-1， -1）、（-1， 1）、（1， -1）也都∈A，于是，A中的元素个数是2×4+1=9个，选A.

【评注】这是一道非常简单的题目，很多考生采有枚举法求解，但往往会由于遗漏而失分，以上处理手法，非常简洁雅致，结果一目了然.

【类题联想】

1.（从对称到不对称）设x， y∈R，且xy≠0，则（x2+■）（■+4y2）的最小值为________.

【简解】本题求解方法是宜先作恒等变换，最后再用基本不等式即可（避免多次放缩产生不等式取等号之间的矛盾要求），即（x2+■）（■+4y2）=5+4x2y2+■≥5+4=9，即所求最小值为9，（易知当x2y2=■时取等号）.

【评注】如果读者有印象，就会发现这道题的命制就回避了2005高考重庆卷第5题的内在弊端，将该题关于x， y对称的形式变成了不对称的形式，因此难度增加了. 当然，如果知道柯西不等式，也可直接利用二维的柯西不等式求解之，此处从略.

例2. 已知F为抛物线C：y2=4x的焦點，过F做两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则 |AB|+|DE| 的最小值为（）

A. 16         B. 14         C. 12         D. 10

【解析】抛物线y2 =4x的焦点为F（1， 0），由题意知l1， l2的斜率均存在，不妨设l1的斜率为k，则l1：y=k（x-1），将其与y2=4x联立消去y得k2x2-（2k2+4）x+k2 =0，设该方程的两个根分别为x1，x2，则x1+x2=2+■，由抛物线定义，易知：

|AB|=x1 +x2 +2=4+■，将 |AB| 表达式中的k用-■替换，立得 |CD|=4+k2，于是：

|AB| + |DE|=8+4（k2+■）≥8=8=16，当k=±1时不等式取等号，正确答案为A.

【评注】以上解题过程中我们巧妙利用过F做两条互相垂直的直线l1， l2的斜率的内在联系，书写过程缩减了一半，这就是一种关系对称的表现.

例3.  已知椭圆C：■+■=1（a> b>0），四点P1（1，  1），P2（0， 1），P3（-1， ■），P4（1， ■）中恰有三个点在椭圆上.（1）求C的方程，（2）略.

【简解】（1）我们充分注意到椭圆方程C：■+■=1（a> b>0）所表示的曲线不但关于x轴对称，而且关于y轴对称，还关于原点 O（0，  0）中心对称，所以，一般地，若点（x0 ， y0）在椭圆上，则（±x0 ， ±y0）均在椭圆上（其中正负号任意组合，通常为四个点，若其中一个坐标分量为0，则仅为两个点），所以P3（-1， ■），P4（1， ■）两点必然同在或同时不在椭圆上，而已知四点中恰有三点在椭圆上，所以P3（-1， ■），P4（1， ■）两点必然同在椭圆上;另一方面，若P1（1， 1）在椭圆上，由对称性知P5（-1， 1）也在椭圆上，但已有P3（-1， ■）在椭圆上，而P3，P5横坐标分量相等，必有纵坐标分量绝对值相等，即 |■| = | 1 |，而这是不可能的，即P1（1， 1）不在椭圆上，于是由题意知P2（0， 1）在椭圆上，结合P2（0， 1）的几何意义知b=1，将b=1及P4（1， ■）坐标代入椭圆方程得■+（■）2 =1，得a=2，于是■+y2=1为所求.

例4. 设点P在曲线y=■ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则 |PQ| 最小值为（）

A. 1-ln2         B. ■（1-ln2）

C. 1+ln2         D. ■（1+ln2）

【解析】发现函数y=■ex与函数y=ln（2x）互为反函数，所以二者的图像关于y=x对称，这是求解本题的关键，这样一来，这两个函数间的最小距离就是其中一个函数（如y = ■ex）上的任意一点P（x， ■ex）到直线y=x的距离的2倍，（注意：此举将原来的曲线到曲线的距离转化为直线到曲线的距离，而后者的情况相对简单），由于点P（x， ■ex）到直线y=x的距离为d=■，下面构造函数求利用导函数法求最小值. 设函数g（x）=■ex-x ？圯g′（x）=■ex-1？圯g（x）min=1-ln2？圯dmin=■.于是：

|PQ|min=2dmin=■（1-ln2），正确答案为B.

【类题联想】

1. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=|x2-2x-3| 与y=f（x）图像的交点为（x1 ， y1），（x2 ， y2），···，（xm ， ym），则■xi =（）

A. 0         B. m         C. 2m         D. 4m

【解析】注意到f（x）=f（2-x），则y=f（x）图像关于直线x=1对称，同时y=|（x-1）2-4| 也关于直线x=1对称，所以这两个函数的交点也关于直线x=1对称，不妨设x1

二、齐次对称

不妨以三个变量情形为例，若对于任意非零实数？姿，有f（x， y， z）≡f（？姿x， ？姿y， ？姿z），则称表达式f（x， y， z），是齐次对称的，比如我们很熟悉的■，■等等，都是具有齐次对称性的表达式，对于齐次表达式，将其中所涉及的所有变量（为简单起见，也仅以三个字母为例）x， y， z，定义一个空间直角坐标（x， y， z），称■为该点到坐标原点距离（或模），则我们有重要结论：只要x2+y2+z2≠0，则■取为大于零的任意实数，不影响齐次表达式的最后结果，这也正是很多齐次不等式证明时常有的类似措词“由题意，可不妨取■=1”等等的由来.

例5. 已知a， b， c为正数，且满足abc=1，证明：

（1）■+■+■≤a2+b2+c2;（2）（a+b）3 +（b+c）3 +（c+a）3 ≥24.

【證明】（1）用分析法，不等式左边是-1次方，右边是2次方，利用已知条件abc=1，原命题等价为齐次化后的不等式bc+ca+ab≤a2+b2+c2，而现在这个不等式是很容易证明的，a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加即得;

（2）也用分析法，类似地，同样按照齐次化思想，由abc=1，待证问题等价于证明（a+b）3 +（b+c）3 +（c+a）3 ≥24abc.（*）. 而这一不等式也是容易证明的，

由a， b， c为正数，则有（a+b）≥2■，进而（a+b）3 ≥

8■，同理有：

（b+c）3 ≥8■，（c+a）3 ≥8■，于是：

（a+b）3 +（b+c）3 +（c+a）3 ≥8（■+■+■）≥8×3·■=24abc，于是（*）式成立，从而要证不等式成立.

【评注】第一步如何变换？如何想到这样变？这是不少考生觉得头疼的问题，以上我们按照齐次化的思想，初步回答了这两个问题，为读者解题思路的展开指明了方向.

此处读者如果熟悉重要的关系式bc+ca+ab≤a2+b2+c2，及恒等式（a+b+c）2 =a2+b2+c2+2bc+2ca+2ab，我们还可得到重要的不等式链：？坌a， b， c∈R，有3（bc+ca+ab）≤（a+b+c）2 ≤3（a2+b2+c2），感兴趣的读者可自己证明体验一下.

同时，2013年高考全国卷Ⅱ理第24题也可用上面的办法求解.

例6. 已知a， b>0，试求f（a， b）=■+■的最大值.

【简解】我们注意到：①该表达式关于是齐次对称的，令t=b/a>0就能实现齐次减元;②该表达式关于a， b是交换对称的，则t=1就可能取得最值（易知此时f（a， a） =■），于是试将问题等价转化为：已知t=b/a>0，证明g（t） = f（a， b）=■+■的最大值为■，我们下面用分析法探究之：已知t>0，要证明■+■≤■.

等价于（■-■） +（■-■）≤0;

等价于 -（■+■）≤0;

等价于 -（t-1）（■+■）≤0;

等价于 -（t-1）（4t3-5t2+5t-4）≤0;等价于 -（t-1）（4t2-t+1）≤0，而 -（t-1）2≤0，二次三项式（4t2-t+1）的二次项大于0，其判别式小于0，知（4t2-t+1）> 0，于是 -（t-1）2（4t2-t+1）≤ 0 成立（当时t=1时取等号），所以二元函数f（a， b）的最大值为■.

【评注】将■平均分开来使用也是基于对称性的考虑，如此一来，很容易产生第一个因式（t-1），从而降低了问题的难度（若不，去分母后的结果是一般的一元四次多项式，困难可想而知）.

责任编辑 徐国坚