丁承君，李 庆，高少彬，冯玉伯，贾丽臻

(1.河北工业大学 机械工程学院，天津 300130；2.中铁十四局集团房桥有限公司，北京 102488； 3.天津通信广播集团有限公司，天津 300140；4.中国民航大学 航空工程学院，天津 300300)

0 引 言

目前，塔式起重机被广泛应用于现代建筑工地具有复杂欠驱动特性的非线性机电系统中。塔式起重机要实现有效的货物运输，需要进行快速、准确地定位(包括变幅小车的变幅运动和塔臂回转运动)；同时，为保证运输的安全性，在其定位过程中抑制货物的摆动同样重要。

国内外诸多学者针对起重机负载摆动问题进行了仿真计算和控制研究。文献[1]针对船式起重机采用了最优化方法设计的控制器，仿真结果表明其能较大幅度抑制负载摆动，可以提高船式起重机的运输效率与安全系数。与龙门起重机和桥式起重机相比，塔式起重机具有更复杂的动态特性和更强的耦合性，目前有关塔式起重机防摆控制的研究较少[2]。文献[3]将粒子群优化算法用于塔式起重机滑模控制器的参数优化，提高了防摆控制器的性能。文献[4]设计了基于延迟反馈和模糊控制的塔机变幅小车定位和负载防摆控制器，在提高控制小车位置精度的同时，能有效地消除负载摆动。

当前，大多数塔式起重机的控制策略是基于原始非线性动力学在平衡点附近的线性化理论提出的，这样会造成一定的模型误差，使得基于模型的起重机消摆控制算法的性能受到一定影响。因此，笔者在全面分析本研究领域国内外研究现状的基础上，针对四自由度塔式起重机，基于Lyapunov稳定性理论提出一种防摆控制算法，通过理论分析证明系统的渐近稳定性，当起重机塔臂回转角度、变幅小车位移和负载摆角与偏离各自平衡点的距离较远时，提出的控制算法仍然有效。

本文采用差分进化算法对所设计的控制器进行参数寻优，降低参数整定难度。但差分进化算法性能优劣主要与其参数的设置和进化策略的选择有关，如若选择不当，通常导致进化种群过早地丢失多样性，使得种群个体集中到某一局部最优点，进而使得种群整体早熟收敛，搜索停滞[5]。

针对上述问题，本文对差分进化算法进行改进，以实现塔臂回转角度、变幅小车位移的快速跟踪定位，以及对负载摆角的有效抑制。

1 三维塔式起重机动力学模型

三维定绳长塔式起重机简化模型如图1所示。

图1 三维塔式起重机简化模型

系统建模所需的状态变量及相关参数如表1所示。

表1 系统状态变量及相关参数

基于Lagrange动力学微分方程，可以得到简化后的塔式起重机动力学模型[6]：

(1)

上述矩阵与向量的详细表达式为：

(2)

(3)

(4)

(5)

2 控制器设计及稳定性分析

2.1 控制器设计

对于三维塔式起重机系统而言，主要控制目标是实现快速且准确的变幅小车定位，同时保证负载摆动的抑制消除。根据塔机动力学模型，其控制目标可以描述为：

(6)

式中：βd—塔臂回转角度的期望值，rad；sd—变幅小车移动距离的期望值，m。

(7)

对式(7)关于时间进行微分，可得：

(8)

由式(1)可得：

(9)

(10)

进而可得：

(11)

设计防摆控制器为：

(12)

式中：eβ—塔臂回转角度跟踪误差，eβ=β-βd；es—变幅小车定位跟踪误差，es=s-sd；λ1β,λ2β,λ3β,λ4β,kpβ,kdβ,λ1s,λ2s,λ3s,λ4s,kps,kds—控制器参数，其取值范围为正实数。

2.2 稳定性分析

证明：选取Lyapunov函数：

(13)

对V求导得：

(14)

将式(11，12)代入式(14)可得：

(15)

3 基于改进差分进化算法的防摆控制器参数优化

由式(12)可知，防摆控制器需要整定的参数有12个，若根据经验进行人工调参，工作复杂艰巨。笔者采用改进的差分进化算法进行参数寻优，使控制器能获得更好的性能。

差分进化算法(differential evolution，DE)是一种高效的基于群体差异的启发式并行搜索方法，具有控制参数少、设置简单、优化结果稳健等优点。差分进化算法的性能在很大程度上取决于变异因子F和交叉概率CR。而在传统DE算法中，2个参数的设置为定值，导致算法不能够根据实际情况作出调整[9]。因此，本文基于传统差分进化算法进行改进。

本文所采用的改进差分进化算法主要包括以下步骤：

(1)种群初始化及参数设置

首先根据问题，设置种群的大小NP以及个体向量的维数D[10]，然后随机初始化一个种群Xi,G=(X1,G,X2,G,…,XNP,G)T。其中，G代表当前种群的迭代次数；

(2)变异操作

差分进化算法中，变异操作是利用变异策略使种群中的每个父代个体产生新的个体。

为了提高变异策略在前期的开发性能和算法后期的局部搜索能力，本文在高斯变异策略[11]的基础上对其进行了改进：

(16)

式中：Xpbest,G—当前种群按照适应度由好到劣进行排序，进而从适应度较好的前p%个个体中随机选择的个体；Xi,G—当前个体；Vi,G—生成的变异新个体。

(3)交叉操作

交叉操作的目的是提高种群的多样性，其公式为：

(17)

式中：uij,G,j=1,2,…,D—交叉生成的试验个体Ui,G的各维分量；CR—交叉概率；randj—介于0到1的随机数；jrand—介于1到D的随机整数。

交叉概率CR决定变异个体对实验向量的影响权重，当选取较大的交叉概率时，能够提高种群多样性，同时通常也会加速收敛，而较小的交叉概率有利于分析个体各维可分离问题。在自适应DE算法JADE[12]中，交叉概率的初始值是由均值0.5和标准偏差0.1的正态分布独立生成的，同时在算法执行过程中，会根据搜索经验来更新CR。

遵循这一思想，本文提出了一种简单的自适应策略来动态更新CR，具体如下：

(18)

式中：CRi,G—对应个体Xi,G的交叉概率；c—介于0到0.5的常数；f(·)—适应度函数，适应度函数值越小代表个体性能更加优越；μi,G,i=1,2,…,D—更新交叉概率的高斯分布均值，其初始值为0.5。

(4)选择操作

选择操作是对试验个体Vi,G与目标个体Xi,G进行适应度的比较，适应度较好的个体进入子代，从而提高种群的适应度。其过程如下：

(19)

由于防摆控制器性能由12个主要的控制参数决定，则设定差分进化算法的个体维度为12，适应度函数反映控制系统所要求的控制目标，指导算法按控制目标要求不断进化。为了得到较好的过程动态特性，此处采用误差绝对值与时间的乘积的时间积分作为最小目标函数。

考虑到塔机在进行变幅和回转时如果超调量较大，可能会引起塔机间或者货物与障碍物间的碰撞，因此，在适应度函数中引入系统超调量，即目标函数为：

(20)

4 仿真分析

为了验证使用改进差分进化算法优化防摆控制器的优越性，笔者采用经典DE/rand/1/bin优化算法进行仿真对比。设置差分进化算法种群规模为100，最大迭代次数为30次，c=0.4,p=3，设置DE/rand/1/bin的参数为F=0.5,CR=0.9[13]。塔式起重机动力学模型相关参数取为mt=50 kg，mc=5 kg,l=3 m,J=30 kg·m2,bs=90,bβ=140,bθ1=12,bθ2=12,g=9.81。期望位置设为sd=1 m,βd=45°。优化算法适应度函数权重系数分别设置为ω1=ω2=1,ω3=ω4=3，ωMp=[100 100 38 38]T。

进行仿真试验后，得到适应度函数值变化曲线如图2所示。

图2 适应度函数值变化曲线

由图2可以看出：改进差分进化算法与DE/rand/1/bin优化算法收敛速度几乎相同，但改进差分进化算法求得的最优解的适应度函数值较DE/rand/1/bin更小，具有更强的寻优能力，减小了陷入局部最优的概率。

为了进一步分析该塔式起重机控制方法的有效性与可行性，采用MATLAB/Simulink进行数值仿真试验验证；对部分反馈线性化防摆控制器[14]与本文改进差分进化算法自动整定的防摆控制器分别进行仿真试验，期望位置及系统参数与上述试验相同。

本文控制算法参数整定结果为：λ1β=90.64,λ2β=8.09,λ3β=42.18,λ4β=11.04,kpβ=98.43,kdβ=4.31,λ1s=14.25,λ2s=20.87,λ3s=51.08,λ4s=18.28,kps=37.79,kds=0.31。经过多次试验整定，对于部分反馈线性化控制器参数取为Kd1=0.8,Kd2=0.9,Kp1=1.2,Kp2=1.4。

部分反馈线性化控制器及本文设计的改进差分进化算法整定后的控制器仿真结果如图(3～6)所示。

图3 塔臂回转角度跟踪曲线

图4 变幅小车位移跟踪曲线

图6 负载摆角θ2变化曲线

由仿真结果可以看出：两种控制方法都可以实现塔式起重机防摆与定位控制，且塔臂回转、变幅小车位移无超调；但使用本文所提控制器较部分反馈线性化控制器的系统收敛时间更短，消摆效果更好。

5 结束语

针对未经线性化处理的塔式起重机动力学模型，笔者提出了一种防摆控制器，并将改进后的差分进化算法用于控制器的参数优化；仿真结果表明：改进差分进化算法克服了传统差分进化算法寻优速度不足和容易陷入局部最优的缺点，得到的适应度函数值更优。

将本文所提控制方法与部分反馈线性化方法进行对比，结果表明：本文控制方法能对塔机期望位置快速跟踪与消摆，有助于提高塔式起重机工作效率，并更好地保障系统的安全。