刘建贞，李亚娟

(杭州电子科技大学理学院,浙江 杭州 310018)

0 引 言

计算机辅助几何设计与图形学中，有理Bézier曲线等自由曲线曲面的导矢界计算问题一直都是非常重要的研究方向。许多学者对有理Bézier曲线、曲面的一阶导矢界进行了研究。Floater[1]首先用控制顶点和权因子来表示有理Bézier曲线的一阶导矢界；文献[2]利用不等式给出了有理Bézier曲线的一阶导矢界；文献[3]估计了特殊点处的导矢界；文献[4]给出一个较大的误差界。Hermann[5]采用Möbius变换，讨论了有理二次Bézier曲线的一阶导矢界问题；文献[6-12]利用不同的不等式对有理Bézier曲线的一阶导矢界进行了估计，并不断加以改进；文献[13]对有理二次Bézier曲线的导矢界模长进行了优化。除此之外，还有部分文献估计了曲面导矢界。如文献[14]将有理Bézier曲线的一阶导矢界估值推广到曲面，文献[15]对NURBS曲面的偏导矢界进行了估计。但是，由于有理Bézier曲线的高阶导矢计算公式异常复杂，其界的估计比较困难，相关文献涉及较少。文献[16]给出了有理Bézier曲线的二阶，三阶导矢界，文献[17]提供了一种n次有理Bézier曲线任意阶导矢界的上确界的理论计算方法，但没有给出确定的界的表示。在文献[2]方法基础上，本文提出一种n次有理Bézier曲线高阶导矢界计算方法。

1 计算导矢界的框架

一条n次有理Bézier曲线R(t)定义如下：

(1)

1.1 有理Bézier曲线的一阶导矢界

一条n次有理Bézier曲线(1)的一阶导矢记为：

(2)

文献[2]给出如下引理，并以此计算n次有理Bézier曲线的一阶导矢界。

引理1[2]如果ai≥0,bi≥0,i=0,1,2,…,n，那么

(3)

(4)

(5)

再由

(6)

R′(t)的分子中的第1个乘积项表示为……