刘忠茂，王 健，管 苗，陈志东，汪友梅

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

同步卫星、通信卫星、遥测卫星等航天器不仅在军事上有战略性意义，而且在民用领域有不可或缺的价值。卫星在太空的运动控制依赖于推进器，推进技术主要分为电推进和化学推进。相比于化学推进器，电推进器具有体积小、比冲高、效率高、寿命长，工质消耗少等优点，更能胜任空间任务中卫星姿态调整、轨道偏移、位置保持、深空探测和星际航行等任务[1]。霍尔推进器属于电推进器的一种，应用广泛，其设计标准主要依据测试经验[2-3]。霍尔推进器的推力效率、侵蚀以及控制振荡等方面还需进一步改进。Kim等[4]将内、外励磁线圈分别通入方向相反的电流，研究霍尔推进器磁场分布对电离过程和离子输运的影响。Hofer等[5]通过实验发现磁场位形随磁屏蔽的改变而变化，说明磁屏蔽能减小通道壁面腐蚀。丁勇杰等[6]通过实验研究磁场方向的改变对电子漂移运动和推进器整体性能的影响，指出磁场方向的变化与电子霍尔漂移方向的变化相对应。这些研究大部分集中在具体的物理实验上，缺乏系统的理论模拟计算。在霍尔推进器中，磁场的分布是直接决定推进器的效率和寿命主要因素之一。由于三维模型计算量较大，边界问题的处理非常复杂，目前，绝大多数模拟计算集中在二维轴对称模型。实际上，由于阴极的存在，使电场和粒子的输运性质不具有轴对称性，建立三维模型才能使模拟更接近实际的物理问题。本文通过建立三维模型，采用有限差分法模拟计算和研究了南洋理工大学PSAC实验设计的小型霍尔推进器[7]的励磁线圈电流对磁场位形、电子输运、推力等性质的影响。

1 霍尔推进器

霍尔推进器呈轴对称结构，其结构如图1所示。图1(a)中，z轴为圆柱的对称轴，简称轴向，r轴为径向，θ则为角向，ez，er，eθ分别为轴向、径向、角向的单位向量，点p表示空间内任意一点。图1(b)是图1(a)轴截面图。霍尔推进器主要由绝缘的放电通道(氮化硼壁)、内外线圈、阳极、阴极和磁屏蔽组成。阳极和阴极建立了空间电场，内、外励磁线圈产生空间磁场。电子从阴极发射，在电场力作用下往阳极方向运动，于通道口被磁场捕获，通过洛伦兹力作用做角向霍尔漂移运动，少数电子进入到通道内部，最终到达阳极。从阳极喷出的中性气体在通道口附近与电子碰撞，产生电离，形成等离子体，离子在电场力的作用下加速向外喷出，产生推力。

图1 霍尔推进器结构

霍尔推进器的电场和磁场遵循麦克斯韦方程组：

·B=0

(1)

·D=ρ

(2)

×H=J

(3)

本构方程为：

B=μH

(4)

D=εE

(5)

式中，B是磁感应强度，D是电位移矢量，H是磁场强度，E是电场强度，J是电流密度，ρ是电荷密度，μ是真空磁导率，ε是真空介电常数。

由式(1)、式(3)和式(4)可得：

2A=-μJ

(6)

式中，A是磁势。

内外线圈电流密度都均匀分布在角向上，即

J=jeθ=j0eθ

(7)

由式(6)、式(7)整理得：

(8)

式中，A是磁势A的标量。磁感应强度的径向分量为：

(9)

磁感应强度的轴向分量为：

(10)

同理，电势φ由式(2)、式(5)得：

(11)

式中，电场的轴向分量为：

(12)

那么，电子在磁场中受洛伦兹力做圆周运动，圆周运动半径即为拉莫尔半径[8]：

(13)

式中，E0是电子在阴极的发射动能，大约为1.6×10-18焦耳，V⊥是空间任意一点与阴极的电势差，m和e分别是电子的质量和电荷量。

同时，电子的漂移速度[7-8]为：

(14)

电子的角向漂移速度大小为：

(15)

本文采用有限差分法求解磁场泊松方程(8)和电场泊松方程(11)。磁场的大小和方向在边界处发生突变，根据磁场的边界条件[9]，磁感应强度B在边界面法向上连续，磁场强度H在边界面切向上连续可得磁势A的计算边界条件。

2 模拟实验及分析

I1，I2分别是内线圈和外线圈电流，k是内外线圈电流的比值，I1，I2，k之间的关系如表1所示。

表1 I1，I2，k之间的关系

通过设定不同的内、外励磁线圈电流，得到对应的磁场分布以及电子拉莫尔半径和电子漂移速度。轴向坐标从通道底部z=3.00 mm开始选取，z=28.10 mm为通道出口，z>28.10 mm为通道外(羽流区)，3.00 mm

不同内、外励磁线圈电流激励下，轴向3.00 mm

图2 磁感应强度的径向分量分布图

除了起主要作用的径向分量外，霍尔推进器的磁场还有轴向分量，本文对通道中心轴线上径向磁场和轴向磁场的分布进行了研究。不同内、外励磁线圈电流激励下，通道中心轴线上磁感应强度的径向分量和轴向分量分布情况如图3所示。图3中，虚线标出位置即为通道出口位置。从图3可以看出，磁场主要分布在放电通道出口附近。通道中部以下区域内3.00 mm

图3 通道中心轴线上磁感应强度分布情况

图3(a)中，当外线圈的电流为0.5 A，即k分别为0.4，1.0，1.6时，内线圈电流的改变对径向磁场的大小影响很大，并且内线圈电流大小能有效改变左拐点(通道内磁场变化率陡增的点)位置，但几乎不影响右拐点(通道出口附近磁场变化率接近0的点)位置。同时观察k=0.4，k=1.0，k=2.5时的3条曲线发现，外线圈电流的改变对径向磁场的影响较小，且对轴线上径向磁场分布的左拐点几乎没有影响。径向磁场曲线左拐点出现的位置随内线圈电流的减小而右移，左拐点右移让通道内的磁场尽可能小，这样能有效减少通道内带电粒子向通道壁的方向偏转而造成壁面腐蚀。右拐点随外线圈电流减小而左移。右拐点和左拐点的差值越小，磁场有效宽度也越小。在霍尔推进器磁场设计中，磁场有效宽度越小越有利于从阴极过来的电子在小区域内被有效捕获，形成高密度的霍尔电流，增加中性气体分子与电子碰撞概率，提高电离率。另外磁场有效宽度小，磁场分布主要集中在出口位置附近，放电通道内部靠近阳极的区域磁场很小，保障了通道内的电子、离子等带电粒子做直线运动，减小了壁面腐蚀，有效提高了推进器的寿命。

为了更详细地了解磁场分布对电子运动性质的影响，本文模拟计算了不同k值下，通道中心轴线上电子拉莫尔半径和漂移速度。图4为电子的拉莫尔半径的变化规律。理想的情况是，电子的拉莫尔半径在通道内部尽可能大，在通道口附近尽可能小。从图4可以看出，电子的拉莫尔半径先迅速减小，而后缓慢增大。在通道口附近达到最小，最小值约1 mm左右。因此，大部分电子被磁场捕获而作螺旋状的角向运动，形成角向霍尔电流。图5为不同的内、外励磁线圈电流激励下，通道中心轴线上电子的角向漂移速度的变化规律。电子的角向漂移速度越大，电子绕推进器轴线旋转形成的角向霍尔电流也越大。从图5可以看出，从通道内部到羽流区内，电子的漂移速度先增大后减小，在通道口附近达到最大。从不同k值的曲线看，电子的漂移速度的峰值位置不一样，随着k的增加，电子角向漂移速度峰值出现右移，k=1.0时，角向漂移速度的峰值位置恰好在通道出口。

图4 通道中心轴线上电子的拉莫尔半径

图5 通道中心轴线上电子的漂移速度

综上分析可以得出，当k=1.0时(即内励磁线圈电流I1=0.5 A，外励磁线圈电流I2=0.5 A时)，通道出口附近和羽流区域25.00 mm

图6 推力与放电电压的关系

霍尔推进器的磁场通过影响电子的运动性质而影响推进剂的电离率，从而间接影响推进器的推力。电场则直接通过影响离子的输运性质来影响推进器的推力。为了定量分析电场对推进器推力的影响，本文在最优的磁场基础上，采用流体模型[10]计算不同放电电压下，推进器的推力。推力与放电电压的关系如图6所示，圆形离散点为模拟计算的结果，矩形离散点为南洋理工大学PSAC实验室测量的结果。从图6可以看出，相同电压下圆形和矩形离散点的推力在数值上非常接近，计算模拟的结果和实验结果吻合较好。从离散点的趋势上看，推力随放电电压的增大而增大。

3 结束语

本文建立了小型霍尔推进器的三维计算模型，采用数值计算的方法模拟研究了内外励磁线圈电流对推进器磁场分布及电子输运性质的影响，并在最优磁场分布下探索推进器推力随阳极放电电压变化的关系，验证了本文数值计算方法的可行性和准确性。下一步将在本文研究工作的基础上，采用带有蒙特卡洛碰撞的粒子云室计算方法对霍尔推进器的等离子体输运性质、羽流性质等问题进行更深入的研究。