巧定“界点”妙讨论:导数解答题的破解策略
2021-03-11重庆市璧山中学402773
中学数学研究(江西) 2021年3期
重庆市璧山中学 (402773) 杨 帆
导数解答题是历年高考数学中重点考查的数学题型之一,经常作为压轴题形式出现,其主要特点是思维量大、运算繁琐、区分度高开.而其求解往往离不开对参数的分类讨论,如何巧妙确定分类讨论的“界点”,是成功破解导数问题的策略所在.本文结合实例,就常见的几类巧定“界点”方法加以剖析.
1.巧借二次项系数,妙定讨论“界点”
例1 (2021届“决胜高考”高三新高考八省第一次模拟测试题)已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R).
(1)当a=-2时,求函数f(x)的极值;
评注:涉及的导函数中含有二次三项项,需要对最高项的系数进行分类讨论,根据二次项系数是否为0,判断函数是否为二次函数;由二次项系数的正负,判断二次函数图象的开口方向以及相应的特征,从而寻找导的变号零点,为分类讨论的“界点”确定定下基调.
2.巧借判别式,妙定讨论“界点”
例2 (2019年武汉外国语学校模拟题)已知函数f(x)=(1+ax2)ex-1(a∈R),其中e为自然对数的底数.
(1)当a≥0时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)在区间[0,1]上零点的个数.
解析:(1)f′(x)=(ax2+2ax+1)ex,当a=0时,f′(x)=ex≥0,此时f(x)在R单调递增;当a>0时,判别式△=4a2-4a.