姚海楼，吕鑫龙

(北京工业大学理学部数学学院，北京 100124)

斜群代数最早与文献[1]中奇点的研究有着密不可分的联系. Reiten等[2]对斜群代数做了系统且全面的总结,这使得斜群代数的表示理论初露端倪并且逐渐成为研究热点. 目前,斜群代数已成为代数表示论研究领域中的重要课题之一[3-5].

倾斜理论最早是由英国数学家Brenner等[6]提出并加以发展的. Miyashita等[7]定义了具有有限投射维数的倾斜模,并且讨论了其基本的性质. 结合余代数的研究方法,Wang[8]定义了余代数的倾斜余模,详细讨论了倾斜内射余模和倾斜内射维数. 受此启发,在Artin代数上引入倾斜投射模和倾斜投射维数的概念,并研究其性质. 还研究了ArtinR-代数Λ和斜群代数ΛG的倾斜整体维数之间的关系.

设Λ是一个ArtinR-代数，G是一个有限群,ΛG是一个斜群代数. 本文利用斜群代数和倾斜模的性质,研究斜群代数的倾斜维数. 证明了Λ-模X的倾斜投射维数与ΛG-模ΛG⊗ΛX的倾斜投射维数相等; 进一步,证明了ArtinR-代数Λ的倾斜整体维数和斜群代数ΛG的倾斜整体维数相等.

1 预备知识

设R为Artin交换环，

定义1[9]设G是有限群，G在Λ上的R-代数作用是满足下列条件的函数G×Λ→Λ.

1) 对所有σ∈G,σ∶Λ→Λ是R-代数的自同构.

2) (σ1σ2)(λ)=σ1(σ2(λ)),σ1,σ2∈G,λ∈Λ.

3) 1λ=λ,λ∈Λ,1是G的恒等元.

定义2[9]设G是一个有限群,Λ为ArtinR-代数,且G×Λ→Λ是G在Λ上的R-代数作用,则G在Λ上的斜群代数(记为ΛG)由下列条件给出.

1)ΛG作为Abel群是以G的元素为基的自由左Λ-模.

2)ΛG上的乘法定义为(λσσ)(λττ)=(λσσ(λτ))στ,λσ,λτ∈Λ,σ,τ∈G.

命题1[9]设ΛG是斜群代数且G的阶|G|为n,则

1) 若n在Λ中可逆,则平凡ΛG-模Λ是一个投射模.

2) 若G平凡的作用在Λ上,即对任σ∈G和λ∈Λ有……