王 俊

(江苏科技大学 理学院， 镇江 212100)

在最优化领域中，非光滑优化问题[1]越来越引起研究者的重视.主要是因为这些不可微的目标函数有一些实际的意义或者好的特性.比如，比较活跃的压缩感知领域中的lp(0

1 光滑近似函数

首先，给出连续不可微函数的光滑近似的定义，而连续可微函数又称为光滑函数.

另外，对于任意的t∈R,两类连续不可微函数绝对值函数|t|和最大值函数max{0,t}的等式关系：

|t|=max{0,t}+max{0,-t}

(1)

由式(1)说明这两类连续不可微函数是可以相互转化的.另外，需要特别指出的是，虽然最大值函数max{0,t}是连续不可微的，但是max2{0,t}是连续可微的，且其导函数为2max{0,t}.

1.1 基于卷积的光滑近似

文献[6,10，12-13]基于卷积的性质，利用分段连续的密度函数ρ:R→R+构造最大值函数的单参数光滑近似.需要注意的是，这个密度函数满足：

(1) (对称性)ρ(s)=ρ(-s)

(2) (有界性)有界常数

利用密度函数的两个性质，可以验证

是定义好的(well-defined).另外，对于任意给定的参数μ>0,φ(t,μ)关于变量t是连续可微的、凸的和严格递增的，而且还满足:

0≤|φ(t,μ)-max{0,t}|≤κμ

由不等式和定义1可得φ(t,μ)是max{0,t}的光滑近似，并且称这个常数κ为光滑近似的有界常数.显然，构造不同的密度函数可得不同的光滑近似函数.

(i) 取

那么

称为max{0,t}的光滑近似.再由式(1)有:

是绝对值函数|t|的光滑近似.

称为max{0,t}的光滑神经网络近似.结合式(1)可得：

是绝对值函数|t|的光滑近似.又因为

max{x1,x2}=x1+max{0,x2-x1}

则

是max{x1,x2}的光滑近似.进一步把以上结果推广到n维欧式空间Rn上可得:

是max{x1,x2,…,xn}的一个光滑近似.

称为max{0,t}的CHKS[9]光滑近似.结合式(1)可得：

是绝对值函数|t|的一个光滑……