叶亚美

数学开放题，是指无明确条件或结论，必须经过认真分析、探究，方能获解的试题。因能有效考查同学们的思维品质，创造性地分析问题和解决问题，开放题正逐渐成为新高考数学创新命题的新趋势。近年来各地立体几何解答题中开放题的考查形式主要为结构不良试题及探索存在问题。本文拟通过对这两类开放题的解析，为2021届高三数学立体几何复习备考提供一个参考。

创新题型1——结构不良试题：难在策略选择，重在推理严谨

立体几何开放题中结构不良试题多指条件残缺问题。解此类结构不良试题时，需根据题目要求在给定条件中选择部分条件，并利用选定的条件解决相关问题。结构不良试题突出了思维的灵活性及策略选择，能够对数学理解能力、数学探究能力、数学推理能力的考查起到积极的作用。

点评：由上述解答可以看到，无论选择哪两个条件，都可解答题目。而且，在选择的三个条件中，并没有哪个选择让解答过程比较繁杂，只要熟练掌握空间点、线、面的关系，严谨推理，都可顺利得到PB⊥平面AEFD及四边形AEFD为直角梯形，为求体积比奠定基础。第（2）问通过建立空间直角坐标系，将“求直线PC与平面ADFE所成角的正弦值”的問题转化为向量运算，减少了逻辑推理的过程，这种向量运算的方法也是今后求空间角、距离的常用方法。

点评：由上述解答可以看到，当四边形ABCD为菱形时，本题所给的条件②是不符合要求的，故能否作出正确判断，并合理选择①③十分关键。……