李彬 周东华

(昆明理工大学建筑工程学院 昆明 650500)

0 引言

随着高强材料的出现使得建筑高度不断增加，对压弯构件二阶效应分析与计算显得愈为重要，二阶效应会降低结构构件的刚度和承载力，如果在设计阶段未考虑二阶效应对结构构件的影响，则相当于降低了结构的安全系数。

箱形和工字形截面压弯构件在结构工程中很常见，如连续刚构桥中的空心薄壁墩、工业厂房中上部设置有牛腿的工字形截面柱。以往对这种工字形或箱形截面配筋是用《混凝土结构设计规范》[1](以下简称《规范》)6.2条中工字形正截面承载力计算公式。混凝土构件正截面承载力计算公式的推导，采用等效矩形[2-3]应力图换算，并规定混凝土受压区边缘应变为-3.3‰，也就是无论构件截面内力大小，混凝土受压区边缘应变始终为极限应变，这与构件实际受力时的应变状态不相符，而实际上构件截面上内力大时应变大，内力小时应变小。《规范》中计算压弯构件配筋时，需要先判断截面类型是大偏压还是小偏压，根据截面类型运用不同的公式计算受压区高度，再由受压区高度求配筋面积，计算过程繁琐。为了避免等效矩形应力换算带来的误差，减小计算过程繁琐，本文严格按照混凝土和钢筋的本构关系，结合《规范》中二阶效应计算的增大系数法，经过推导绘制出了二阶效应下箱形和工字形截面配筋计算的图表[4-5]，为箱形和工字形截面压弯构件配筋计算提供一种简便的方法[6-7]。

1 计算原理与方法

1.1 本构关系

《规范》中给出的完整的混凝土和钢筋的本构关系，如图1。

(a)混凝土 (b)钢筋

混凝土(a)和钢筋(b)本构关系的数学表达式：

式中 ，σc、σs为混凝土和钢筋的应力；εc、εs为混凝土和钢筋的应变；fc为混凝土抗压强度设计值；fy为钢筋抗拉强度设计值；Es为钢筋的弹性模量。

1.2 混凝土和钢筋应变区域

《规范》中钢筋和混凝土的极限应变取值分别为-3.3‰和10‰，据此将混凝土和钢筋的应变划分为如图2的5个区域，每个区域总有一边上的一点处于极限状态，这样就保证了截面上应变组合都处于极限状态，使得构件破坏时是受压破坏、受拉破坏或受拉受压同时破坏。

图2 截面应变分区图

混凝土结构受力(包括轴拉、大小偏拉、纯弯、大小偏压、轴压)时所有的应变状态，都完全能在图2中表示出来，这5个区域的截面应变规律和受力情况，如表1所示。

表1 截面应变与实际受力状态

续表1

上述的5个应变分布区域，适用于各种截面类型的钢筋混凝土构件，因为①区是轴拉或者偏拉的“受拉”状态，不考虑其二阶效应，所以下文推导的箱形和工字形截面配筋计算方法，是基于②③④⑤区的应变求得的。以矩形截面计算模型，推导公式的最后减去内部小矩形的抗力，即可得到箱形和工字形截面构件的承载力。

1.3 截面承载力

1.3.1 受压区混凝土合力及位置

图3 混凝土弹性的应变和应力

(1)

式中，C为混凝土受压区合力；b、x为混凝土受压区宽度和高度；αc为混凝土压应力不均匀系数。

令受压区合力点对混凝土受压区边缘取矩得：

(2)

式中，a为混凝土合力到受压区上边缘距离。

可以推出混凝土合力点到受压区边缘的距离：

(3)

式中，ka为混凝土受压合力位置系数。

(2)混凝土边缘应变-2‰≥εc≥-3.3‰。混凝土处于弹性+塑性阶段，混凝土受压区应力分布为抛物线+矩形，应变及应力分布如图4。

r=-(2x)/εc

(4)

s=x-r=(1+2/εc)x

(5)

式中，r为混凝土受压弹性区高度；s为混凝土受压塑性区高度。

图4 混凝土塑性阶段应变和应力

弹性+塑性阶段混凝土受压区合力：

(6)

αc为混凝土弹性+塑性阶段的压应力不均匀系数，当εc=εcu=-3.3‰时，αc=0.798。令受压区合力点对混凝土受压区边缘取矩得：

(7)

可以推出混凝土合力点到受压区边缘的距离：

(8)

1.3.2 受压区高度系数和内力臂系数

如果知道受拉钢筋应变，那么再根据已知的混凝土受压区边缘应变，就可以确定受压区高度系数kx和内力臂系数ka，见图5。

图5 受压区高度及内力臂

由图5的几何关系可得：

(9)

z=h0-a=(1-kakx)h0=kzh0

(10)

(11)

式中，x、kx为混凝土受压高度和高度系数；z、kz为截面内力臂和内力臂系数。kx、kz都只与混凝土边缘应变和受拉钢筋应变有关。

1.4 截面轴力及弯矩

上文得到了受压区混凝土的合力及其位置的表达式，不难列出截面的轴力和弯矩的平衡条，下面就分别按两种情况(中性轴在截面内和在截面外)来计算截面的轴力承载力和弯矩承载力。计算时，考虑为对称配筋，即有如下关系：

(12)

1.4.1中性轴在截面内(区域②③④)

此时，中性轴在截面内，构件受力状态为大偏拉、纯弯、大偏压，见图6。

图6 区域②③④内力图

由图6的平衡关系得：

(13)

(14)

式(13)和式(14)两边分别同时除以fcbh和fcbh2，得无量纲轴力n和弯矩m：

(15)

(16)

1.4.2中性轴在截面外(区域⑤)

此时，中性轴在截面内，构件受力状态是小偏压过渡到轴压，见图7。

图7 区域⑤内力图

由图7的平衡关系得：

(17)

(18)

式(17)和(18)两边分别同时除以fcbh和fcbh2，得无量纲轴力n和弯矩m：

(19)

(20)

上面推导的为单个矩形截面的轴力和弯矩承载力的计算公式。若要得到箱形和工字形的计算公式，只需从大矩形受压混凝土的内力中减去小矩形的内力，无须重新推导公式。钢筋的内力计算则没有任何变化。混凝土受压区截面如图8所示。

图8 混凝土受压区截面

综上所述，在上面推导的公式中截面的弯矩和轴力承载力都是εc和εs的函数，已知了εc和εs，方程中便没有任何未知量，应力和内力计算变得非常简单，在图2的5个应变区域中εc和εs是交替保持在极限应变，另一个可变化，即可按等间隔的赋予不同的值。将图2中5个区域的应变代入上面的公式进行计算，并将得到的值绘制成图9中m-n相关曲线族。

图9 箱形截面一阶m-n相关曲线

上图中包含了轴拉、小大偏拉、纯弯、大小偏压和轴压等7种受力状态，可用于配筋计算或截面强度验算。

1.5 考虑二阶效应的m-n相关曲线

当考虑二阶效应时，构件或结构的一阶弯矩会增大，为简化计算，可用弯矩增大系数η乘以一阶弯矩m1而得到二阶弯矩m2，即m2=ηm1，但二阶弯矩不得大于截面的弯矩承载力m，即：

m2=ηm1≤m

(21)

上式中的η可按《规范》6.2.4计算：

(22)

式中，e0为初始偏心距，e0=m0/n；m0为荷载弯矩；ea为附加偏心距，ea=max{h/30,20 mm}；l0为构件计算长度。

由于弯矩增大系数中考虑了附加偏心距，一阶弯矩中也应包含附加偏心引起的弯矩，即：

m1=m0+ma=n(e0+ea)

(23)

由式(21)和(23)可得到考虑二阶效应的设计表达式：

m1=n(e0+ea)≤m/η

(24)

由上式中便可得到：用大于1的η除以弯矩承载力m，便得到了考虑二阶效应的m-n的相关曲线，曲线中还包含了参数l0和ω的影响，见图10。

图10既可用以配筋计算，也可用以截面承载力复核；配筋计算时，由3个无量纲参数m1、n及λ，便可查得无量纲强度的配筋率ω。另外，考虑了二阶效应的图10中的曲线族均比图9中压弯区的没有考虑二阶效应的曲线族缩小了，长细比越大，缩小的程度越大。

(a) λ=30、40、50、60

(b) λ=70、80、90、100

2 算例

2.1 规范解法

(1)求附加偏心距：

ea=max{h/30,20 mm}=20 mm

(2)求偏心距增大系数：

h0=h-as=510 mm

l0/h=8 000/550=14.5

(3)计算压力对受拉钢筋的偏心距：

ei=η(e0+ea)=209.6 mm

e=ei+h/2-as=444.6 mm

(4)判断大小偏心：

ei>0.3h0=153 mm

Nb

(5)求相对和受压区高度：

x=ξ·h0=320.7 mm

(6)计算配筋：

=622 mm2>0.2%A=282 mm2

2.2 本文解法

(1)计算无量纲系数：

(2)计算配筋：

l0/h=14.5，可在图10(a)第3象限得ω=0.07。

从上面的计算过程可以看到，按《规范》计算相对较为繁琐，需要计算偏心距增大系数、判断大小偏心、判断截面类型等，而本文算法过程则很简单，无需任何判断的计算。两方法的配筋率之比为1 244/1 224=1.016，误差在3%以内。

3 结论

本文用由应变求应力和内力的新的计算方法，能完整利用《规范》中混凝土和钢筋的本构关系，构造出5个可能的应变区域，将应变变成了已知量，使得应力和内力的计算变得简单。

图9中的诺模图可用于不需考虑二阶效应的配筋计算，而图10 中的诺模图则可用于考虑二阶效应时的配筋计算。

用本文的诺谟图计算配筋，快速方便。另外，诺模图均采用无量纲形式，可一表多用，即可用于C50及以下强度的混凝土和任意大小的截面宽度和高度(b×h)。