祖光鑫，武国良，王国良，于 洋

(1.国网黑龙江省电力有限公司电力科学研究院, 哈尔滨 150030;2.国网黑龙江省电力有限公司哈尔滨供电公司, 哈尔滨 150036)

0 引 言

实现负荷预测是保证电力输送能够按照计划进行，维持电网能量交换平衡的关键环节。电力市场稳定运行必须依靠负荷预测，同时负荷预测也是电力规划的重要依据，负荷预测的精度越高，电力设备的利用率就越高，能量损耗就越低。现在的负荷预测方法主要有两类：第一类为时间序列法等统计模型，它是在分析历史数据固有特性的基础上发展起来的；第二类为基于气象因素或价格等相关因素的负荷预测模型，但量化不同气候和荷载条件之间复杂的相互作用需要更多考虑，因此，该文使用第一种模型。

目前常用的负荷预测方法主要有时间序列法[1]、人工神经网络法[2-3]、模糊预测法[3]、数据挖掘预测法[4]、极限学习机预测法[5]和灰色预测模型法[6-7]等。而在文献[8]中，采用了一种全新的基于根轨迹的短期负荷预测方法，不仅保证了误差收敛，且对拟合方式进行了探讨。在文献[9]中，以印度电力市场为研究对象，提出了基于极限学习机的短期电力负荷预测方法。文献[10]中采用了一种基于反馈网络与主成分分解的短期电力负荷预测模型。大数据理论被广泛应用于文献[11]和[12]的负荷预测模型中，提出了一种基于小波网络的负荷预测模型。在文献[13]中，通过 LSTM(long-short term memory)模型对用户负荷进行点预测。

小波分解(wavelet decomposition，WD)方法在文献[14-17]中得到了广泛的研究，它可以减少序列的非平稳特征，提高预测精度。在文献[14]中对母小波的选择进行研究，在此基础上，对载荷序列进行小波分解，并且将各分量分别建立模型[15-17]。针对最近的科研过程分析，在使用WD处理时间序列时出现了两个问题：一是没有确定WD水平的理论依据，二是缺乏预测高频分量的能力。

针对第一个问题，该文提出了一种增强迪基-富勒(augmented Dickey-Fuller，ADF)检验的WD序列选择方法。对于第二个问题，采用了基于二阶灰色预测模型的负荷预测模型。为得到二阶灰色预测模型的最优参数，采用神经网络映射方法构建了二阶灰色神经网络预测模型[gray neural network forecasting model,GNNM(2,1)]。

1 基于ADF检验的WD

1.1 WD法

利用WD可以高效地分析非平稳和非线性信号。该文采用WD对负荷序列进行处理，可以减少负荷序列的非平稳性，并以此作为提高预测精度的依据。WD由式(1)所示

(1)

因此，对于与一个信号相关的所有a和b，所有小波系数WTx(b,a)的集合都与母小波相关，其中a和b是实数，表示复共轭。尺度参数a用于控制小波的扩展，平移参数b则决定小波的中心位置。

(2)

式中：Ψk,s(t)为离散小波基函数。

小波反变换由下式描述:

(3)

Mallat算法是一种基于多分辨率分析的小波变换快速算法。将载荷序列投影到尺度空间与小波子空间中，求出近似和的详细信号。Mallat算法流程如图1所示。

图1 Mallat算法Fig.1 Mallat algorithm

分解过程可以表示为

(4)

式中：j表示Mallat算法的分解级别；H(·)为低频分解函数，类似于低通滤波器；G(·)表示高频分解函数，类似于高通滤波器。

在这个过程中，重构只需要系数向量，系数向量是通过将序列的长度降采样为一半产生的。因此，重构前，需要对系数进行修正，在样本之间分配零点。

(5)

式中:H*是H(aj)的对偶算子;G*是G(dj)的对偶算子。

这一过程完成后，负载序列x可通过消除高频或将其分为高频和低频来平滑，该过程如下所示。

(6)

式中：Aj(t)表示近似信号或基元分量;Di(t)表示详细信号或高频分量。

为了得到二阶灰色预测模型的最优参数，采用神经网络映射方法构建GNNM(2,1)模型，重构各自输出，得到最终预测负荷。

1.2 根据ADF检验确定最佳WD水平

分解层数和母小波的选取是影响预测结果的关键因素。该文对最优WD水平进行了研究。随着分解水平的提高，低频分量趋于稳定，基本分量的预测精度提高。然而，高频分量的数量也增加了。因此预测的准确性随着组件数量的增加而降低。故需要在WD水平和小波分量的稳定性之间找到一个平衡。

为了保证平衡，该文采用一种基于ADF检验确定最优分解水平的WD分组稳定性评价模型。ADF检验是单位根检验的一种改进方法。它的原理是检查一个单位根是否在一个序列中出现。如果没有单位根，则序列是平稳的，否则便是非平稳的。ADF检验通常用于评价经济时间序列的平稳程度，通过ADF检验确定最佳WD水平步骤如下所述：

1)设j=1;

2)对负荷序列进行j级小波变换，求出各个分量；

3)用ADF法评价WD各组分稳定性；

4)如果每个部件都是稳定的，j是最好的WD水平，否则，j=j+1，重复步骤(2)。

利用这种方法，可以提高预测的准确性，得到WD的最优层。

2 灰色模型

灰色系统理论的特征是利用灰色数学处理不确定性，充分利用已知参数寻找系统的规律。基于灰色系统理论的预测模型具有模型简洁易懂、所需历史参数少、预测精度高、便于计算、不计分布特点等好处。GM(N,M)是阶数为N，变量个数为M的灰色模型。二阶灰色模型GM(2,1)共有两个特征值，体现单调变化和非单调变化。计算结果可以很好地模拟出具有显著振荡特性的低频分量和高频分量。因此，该研究采用GM(2,1)模型。

2.1 GM (2,1)

历史荷载数据经小波分解后的分量如下:

X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]

(7)

式中：n是序列的个数。

将这些序列叠加产生新的序列，定义为1-AGO [使用上标“(1)”]，即

X(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)]

(8)

x(1)(n)定义为

(9)

基于一阶累积生成操作建立二阶微分模型，如下式所示：

(10)

这个方程的解如下：

(11)

式(11)为λ1和λ2预测值的解析表达式，揭示了λ2+a1λ+a2=0特征方程的特征根。最后，我们使用以下式获得最后的预测结果。

x(0)(t)=x(1)(t)-x(1)(t-1)

(12)

2.2 灰色神经网络模型(GNNM)

灰色模型的参数计算一般采用最小二乘估计法，这需要更新计算结果。想要加快模型的训练速度，减少计算时间，就需要进行大量的计算。同时，为了提高计算效率，利用最小二乘估计方法对灰色模型的初始值进行估计。最后通过训练灰色神经网络，得到最优模型参数。

采用最小二乘估计法计算初始值来确定式(10)中a1、a2、b的初始值(灰色神经网络的初始权值)，公式如下所示：

(13)

其中：

z(1)(t)=0.5x(1)(t)+0.5x(1)(t-1),t=2,3,…,n

参数C1和C2由下面的推导得到，可用一阶差分替换积分项如:

(14)

对(11)中的t求导，即

(15)

将式(15)代入式(14)可得

x(0)(t)=C1λ1eλ1t+C2λ2eλ2t

(16)

参数C1和C2通过求解(11)和式(16)得到。为了构造GNNM，将式(11)进行如下变换

(17)

根据(17)构造神经网络图，如图2所示。

图2 GNNM(2,1)网络原理图Fig.2 Schematic diagramof the GNNM (2,1) network

得到模型的最优参数，神经网络的学习过程遵循以下过程。

步骤1:输入初始权值[见式(13)～(16)]和网络阈值。

U=[U1U2]=[λ1λ2]

W=[1+eλ1t1+eλ1t1+eλ2t]T

LD层的阈值表示为

步骤2:计算每一层的输出。

LB神经元的输出定义为

LC神经元的输出定义为

c1(t)=V11b1(t)

c2(t)=V12b1(t)

c3(t)=V23b2(t)

LD神经元的输出定义为

d(t)=y1(t)=W1c1(t)+W2c2(t)+W3c3(t)

步骤3:计算逆误差。

LD层误差定义为

δd=y(t)-y1(t)

式中:y(t)是实际数据。

LC层误差定义为

δc1=δdW1;δc2=δdW2;δc3=δdW3

LB层误差定义为

步骤4:更新权重和阈值。

ΔU和ΔV分别为U和V的修正权值，η为学习速率，μ为惯性系数。

ΔU1(s)=μΔU1(s-1)+ηδb1t

ΔU2(s)=μΔU2(s-1)+ηδb2t

ΔV1(s)=μΔV1(s-1)+ηδc1t

ΔV2(s)=μΔV2(s-1)+ηδc2t

ΔV3(s)=μΔV3(s-1)+ηδc2t

矩阵V的剩余修正量为零，s表示训练次数。

U(s+1)=U(s)+ΔU(s)

V(s+1)=V(s)+ΔV(s)

矩阵W更新如下:

W1=W2=1+eU1t;W3=1+eU2t

步骤5:重复步骤2～4，直到达到收敛条件。

完整的算法流程如下图所示：

图3 程序流程框图Fig.3 Program flow diagram

3 案例研究

3.1 历史数据

以中国西南某变电站2016年连续负荷时间间隔为1 h的1 000个数据点为研究对象。采用样本中前900个测量数据用来训练，后100个测量数据用来测试。图4为样本图示。

图4 负荷时间序列Fig.4 Load time series

现有的一些利用小波变换进行电力负荷预测的研究，通常采用四阶Daubechies小波。从ADF检验中，我们选择WD级别为5。设给定长度为N的信号为s，离散小波变换至多包含log2n个阶段，样本最多分解9层，图5表示按频率分解的电负荷。

图5 利用离散小波变换对电力负荷进行分解Fig.5 Decomposed electric load using discrete wavelet transform

3.2 预测结果

应用WD各分量的二阶灰色神经网络模型[GNNM(2,1)]清楚地显示了基于WD的预测结果，如图6所示。使用WD-Elman(五层WD结合Elman神经网络)和GNNM(2,1)比较所提出的WD GNNM(2,1)的性能。图7表示负荷预测结果及不同模型的结果。

图6 基于各分量WD-GNNM(2,1)的预测结果Fig.6 Forecasting results based on WD-GNNM (2, 1) of each component

图7 不同模型的负荷预测结果Fig.7 Load forecasting results of different models

3.3 结果分析

为了验证ADF检验以确定WD的最优层，单层WD到九层WD基于ADF检验的稳定性结果列于表1。使用平均绝对百分比误差(mean absolute percentage error，MAPE)来评估我们的结果。表2列出了不同时期的计算映射。

(18)

式中：y′(i)为预测值；y(i)为实际数据；N为序列个数。

表1 ADF的测试结果Table 1 ADF test results

表2 不同分解层的MAPE指数Table 2 MAPE index of different decomposition layers

在表1中，0表示序列为非平稳状态，1表示序列为平稳状态。在单层WD中,A1为非平稳分量，D1为平稳分量。继续分解A1，求出两层WD的结果;然而A2仍然是一个非平稳分量。随着Aj的不断分解，各成分在五层WD中变得稳定。从表2可以看出，随着WD层数的增加，误差减小。在五层WD中，基本分量是平稳分量。此时累积误差最小。当分解水平大于5时，由于各分量都是稳定的，因此保证了各分量的预测精度。然而，随着WD的推进，累积误差逐渐增大。

表3和图7给出了该文提出的WD-GNNM(2,1)和其他两种方法的详细误差分析。理论分析和试验评价表明，所提出的WD-GNNM(2,1)是一个最优解，有利于建立高精度的负载模型，证明了WD可以提高预测精度。

表3 MAPE指数的不同方法Table 3 Different methods of MAPE index

4 结 语

该文提出了一种基于WD的二阶灰色神经网络短期负荷预测方法，WD后各分解分量的平稳性采用ADF检验。首先，小波变换可以降低负荷序列的非平稳性，提高预测精度。其次，基于ADF检验确定最优WD水平的方法能够在最优WD水平与小波分量稳定性之间找到平衡，预测误差降到最低，最后所提出的WD-GNNM(2,1)能有效提高预测精度。