摘要：对于正多边形和心脏线图形的生成，本文给出了新的递推公式，并以该公式为基础构造了正多边形和心脏线的生成算法;该算法在等分角度的设定下，计算正多边形每对顶点需要2次乘法运算，计算心脏线每对点需要4次乘法运算，算法避免了大量的三角函数运算因而效率较高。用VB编写程序对算法进行了验证，算法具有一定的实用价值。

关键词：正多边形;心脏线;构造;算法;递推公式

中图分类号：TP391     文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）35-0127-02

1 正多边形算法设计

1.1 正多边形算法递推公式的构造

r为正多边形外接圆半径，圆心与直角坐标系下的原点[o]重合。假设把圆周角[m]等份，每份对应的角度[θ=2π/m]。沿[x]轴的正方向逆时针方向顺次在圆上取点，相邻两点圆弧对应的圆心角为[θ]。初始时，取[x0=0，y0=r;] [x1=rcos（θ），] [y1=rsin（θ）]。

[xn=rcos（nθ）]

[yn=rsin（nθ）]

根据前面两对点的坐标值，可推导出新的一个点的坐标。下面推出递推公式：

[xn+2=rcos（（n+2）θ）]    [=rcos（（n+1）θ）cos（θ）-rsin（（n+1）θ）sin（θ）=2rcos（θ）cos（（n+1）θ）-r（cos（（n+1）θ）cos（θ）+sin（（n+1）θ）sin（θ）=2rcos（θ）cos（（n+1）θ）-rcos（nθ）=2cos（θ）xn+1-xn]

[yn+2=rsin（（n+2）θ）]    [=rsin（（n+1）θ）cos（θ）+rcos（（n+1）θ）sin（θ）=2rcos（θ）sin（（n+1）θ）-r（sin（（n+1）θ）cos（θ）-cos（（n+1）θ）sin（θ））=2rcos（θ）sin（（n+1）θ）-rsin（nθ）=2cos（θ）yn+1-yn]

r为正多边形外接圆半径，m为多边形的边数，color为生成多边形所用的颜色。t为每一条边对应圆心角值。初始化后每次循环生成一对点画一条线，直到执行m-1次循环。

1.2 正多边形的生成算法

Pcreat（r，m，color）

int r，m，color;

{

int i，cx，cy;

float xn0，yn0，xn1，yn1，xn2，yn2，pi，t，d;

pi=3.1415927;                    /*pi是圆周率*/

t=2*pi/m;

d=2*cos（t）;                      /*t为上面递推公式中的等分角度*/

xn0=0;                         /*（xn0，yn0），第1对起始点初始化*/

yn0=r;

xn1=r*cos（t）;                    /*（xn1，yn1），第2对起始点初始化*/

yn1=r*sin（t）;

line （xn0，yn0）-（xn1，yn1），color;      /*两对起始点以color颜色画线*/

for （i=2;i<=m;i++）

{

xn2=d*xn1-xn0;                 /*计算新的一对坐标（xn2，yn2）*/

yn2=d*yn1-yn0;

Line （xn2，yn2）-（xn1，yn1），color;     /*两对点以color颜色画线*/

xn0=xn1;

yn0=yn1;

xn1=xn2;

yn1=yn2;

}

}/*pcreat*/

1.3 正多边形应用实例输出

用VB6.0编写程序得到图1。

1.4 正多边形算法分析

算法速度主要取决于正多边形的边数（m）和计算每对点的计算量。初始化后，计算每对绘图点需要2次乘法运算。计算m个绘图点需要2m次乘法运算。

2 心脏线算法设计

2.1 心脏线递推公式构造

在直角坐標系中，普通螺旋线的参数方程为：

[x=acosθ（1+cosθ））y=asinθ（1+cosθ），θ∈0，2π]

其中，[x，y的单位为像素] 。

变换上式可得：

[x=acosθ+a2·cos2θ+a2y=asinθ+a2·sin2θ]

假设把以上区间分成m份，每份的角度为：[t=2πm] 。当[θ=kt]时（k=0，1，…，n），分别计算出[x]和[y]的值。

为表达递推公式方便，令[f（n）=acos（n⋅t），g（n）=asin（n⋅t），]其中0≤n≤m。[f1（n）=a2·cos（n⋅2t），g1（n）=a2·sin（n⋅2t），]其中0≤n≤m。

采用与正多边类似的构造方法，可构造出心脏线算法。

2.2 心脏线生成算法

Stancu （a，m，color）

int a， m， color;

{

int i;

float xn1， xn2， yn1， yn2， xm1， xm2， ym1， ym2 ;

float pi， t， t2， u， d， d2， x， y;

pi = 3.14159;

cx = 800.5;

cy = 1500.5;

a = 1000;

m = 1000;

t = 2 * pi / m;

t2 = 2 * t;

u = a / 2;

d = 2 * Cos（t）;

d2 = 2 * Cos（t2）;

xn0 = a * Cos（0）;

yn0 = a * Sin（0）;

xm0 = a / 2 * Cos（0）;

ym0 = a / 2 * Sin（0）;

x = xn0 + xm0 + u;             /*（x，y），第1對起始点初始化*/

y = yn0 + ym0;

drawpixel （ int（x）， int（y），color）;   /*显示第1个点*/

xn1 = a * Cos（t）;

yn1 = a * Sin（t）;

xm1 = a / 2 * Cos（t2）;

ym1 = a / 2 * Sin（t2）;

x = xn1 + xm1 + u;             /*第2对起始点初始化*/

y = yn1 + ym1;

drawpixel （ int（x）， int（y），color）;   /*显示第2个点*/

for（ i = 2; i<=m; i++ ）

xn2 = d * xn1 - xn0;           /*计算新的点*/

yn2 = d * yn1 - yn0;

xm2 = d2 * xm1 - xm0;

ym2 = d2 * ym1 - ym0;

x = xn2 + xm2 + u;

y = yn2 + ym2;

drawpixel （ int（x）， int（y），color）;   /*显示新的点*/

xn0 = xn1： yn0 = yn1;

xn1 = xn2： yn1 = yn2;

xm0 = xm1： ym0 = ym1;

xm1 = xm2： ym1 = ym2;

}

}/* Stancu */

xn0，xn1，xn2对应f（n），f（n+1）和f（n+2）; yn0，yn1，yn2对应g（n），g（n+1）和g（n+2）。xm0，xm1，xm2对应f1（n），f1（n+1）和f1（n+2）;yn0，yn1，yn2对应g1（n），g1（n+1）和g1（n+2）。

2.3 心脏线应用实例输出

用VB6.0编写程序得到图2的输出，其中，a=1000，m=1500。

2.4 心脏线算法分析

算法速度取决于取点数的多少和计算每对点的计算量。初始化后，计算每对绘图点需要4次乘法运算。计算m个绘图点需要4m次乘法运算。

3 结束语

本文给出了正多边形和心脏线的逐点生成算法，并且已经编写了程序进行了验证。算法具有构造简单，执行速度较快的特点。通过构造递推公式的方法避免了大量的三角函数运算，算法中乘法运算次数也较少，因此算法效率较高。递推公式的构造方法也可以应用于类似的其他问题中，对于基于角度的图像绘制算法的研究具有参考意义。

参考文献：

[1] 李星秀，康宝生.玫瑰线和普通旋轮线的逐点生成算法[J].计算机工程与设计，2006，27（5）：746-748.

[2] 刘勇奎.直线与曲线的逐点生成算法[J].工程图学学报，2005，26（6）：41-51.

[3] 张博.圆的高质量、快速生成算法[J].计算机应用与软件，1994，11（2）：51-56.

[4] 谭浩强.Visual Basic程序设计[M].北京：清华大学出版社，2004.

[5] 严蔚敏，吴伟民.数据结构：C语言版[M].北京：清华大学出版社，1997.

[6] 张博.普通旋轮线和玫瑰线的逐点生成新算法[J].计算机时代，2014（9）：54-56.

【通联编辑：梁书】